Questão de função hipergeométrica contígua

Question

Eu descobri a função hipergeométrica $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ Onde $k \geq 1$ é um número inteiro, e acredito que seja igual a $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ Onde $p$ é um polinômio de grau $k-1$(Wolframalpha confirma os primeiros valores). Eu entendo que isso deve decorrer de alguma relação envolvendo funções hipergeométricas contíguas, mas não sei como, e não tenho uma boa referência (a biblioteca em minha universidade está fechada para COVID-19). Na verdade, não me importo com os coeficientes no polinômio, porque estou apenas tentando mostrar que uma integral é finita. Alguém consegue me colocar no caminho certo?

Muito obrigado Greg

Answer 1

Decorre da transformação de Euler

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$

No seu caso, temos

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$

Agora, a função hipergeométrica no RHS pode ser expandida como uma série finita de $k$elementos Isso cria o polinômio de grau$k-1$indicado no OP. Pela definição de série de potência usual, ele se reduz a

$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$e assim por diante. Generalizando, o polinômio é

$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$

Onde $(z)_n$é o símbolo Pochhammer para fatorial crescente. Concluimos que

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$