Questão sobre convergência / divergência de somas de recíprocos de inteiros positivos
Estudando os testes de convergência mais comuns conhecidos, descobri que, em alguns casos, esses testes são inconclusivos (por exemplo, teste de razão quando $r=1$, teste de comparação quando a série é condicionalmente convergente, etc), então tenho pensado em algum teste de convergência possível para séries envolvendo somas de recíprocos de inteiros positivos.
O raciocínio por trás desse teste é o seguinte: de alguma forma, a densidade de determinados subconjuntos de inteiros positivos pode ser avaliada e comparada por meio de suas somas parciais. Por exemplo, é intuitivo que um conjunto de$n$ inteiros positivos tais que $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ é mais denso do que um conjunto de $n$ inteiros positivos tais que $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
Dando uma olhada em algumas das séries mais conhecidas de recíprocos de inteiros positivos, é fácil ver que precisamente $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ é a soma parcial correspondente ao subconjunto mais denso possível de inteiros positivos, pois é a soma de inteiros positivos consecutivos começando em $1$. É conhecido e facilmente comprovável que a soma$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ diverge, a uma taxa de aproximadamente $\ln(n)$. Outra sequência divergente conhecida, a soma dos recíprocos dos números primos, diverge a uma taxa de aproximadamente$\ln\ln(n)$, e a soma parcial de números primos consecutivos é aproximadamente $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$. No entanto, a soma parcial já observada$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ corresponde ao conjunto de números triangulares, e temos que $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$.
O possível teste de convergência declarado depende da existência de alguma função $F(n)$, limitado como $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, de modo que para cada subconjunto infinito de inteiros positivos $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ de tal modo que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, então podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; e se$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, então podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$.
Portanto, o teste seria baseado na soma dos denominadores da sequência, e teria a seguinte forma:
(Possível) Teste de convergência
Dado algum subconjunto infinito de inteiros positivos $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ de tal modo que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, então podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; e se$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, então podemos afirmar que $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
A questão agora é: é possível a existência de tal função $F(n)$? É compatível com o fato aqui provado:https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
Acredito ser possível a existência de tal função, e que seria compatível caso não existisse soma parcial de inteiros positivos iguais a $F(n)$. Por exemplo, se hipoteticamente$F(n)=n^e$, não existiria qualquer conjunto de inteiros positivos de modo que a taxa de convergência / divergência fosse $0$.
Qualquer comentário / suposição sobre como 1) provar a existência ou não existência de $F(n)$, e 2) aproximando $F(n)$ seria bem-vindo!
Respostas
Infelizmente, mesmo uma função de crescimento rápido $F(n)$ falha em garantir $1/a_n\to 0$. Por exemplo, coloque$a_{2k}=k!$ e $a_{2k+1}=1$ para cada natural $k$. Mesmo quando exigimos isso$\{a_n\}$ é não decrescente, seu rápido crescimento pode deixar de garantir a convergência de uma série $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$. Por exemplo, para cada função de aumento muito rápido$g:\Bbb N\to\Bbb N$ deixe a sequência $\{a_n\}$ consiste em blocos consecutivos de número $g(k)$ e comprimento $g(k)$. Então uma sequência$\{1/a_n\}$ diverge, mas uma sequência $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ tem grandes saltos em $g(k+1)$ em cada $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$.
Por outro lado, a desigualdade entre as médias aritméticas e harmônicas implica que $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ portanto, se o lado direito desta desigualdade é ilimitado, a série $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ diverge.