Ramanujan's $\sqrt{\frac{\pi e}{2}}$ fórmula [duplicado]

Aug 17 2020

A seguinte identidade é devida a Ramanujan :

$$\DeclareMathOperator{\k}{\vphantom{\sum}\vcenter{\LARGE K}} \sqrt{\frac{\pi e}{2}}=\frac{1}{1+\k_{n=1}^\infty \frac{n}{1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!!}$$ ou $$\sqrt{\frac{\pi e}{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{\vdots}}}}+1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\cdots $$

Estou interessado na prova desta identidade, mas não consegui encontrar nenhuma referência a não ser a página do link.

Respostas

5 SangchulLee Aug 17 2020 at 17:45

Conforme apontado pela página vinculada, é suficiente provar

$$ 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{1+\dfrac{3}{1+\ddots}}} = \sqrt{\frac{2}{\pi e}} \frac{1}{\operatorname{erfc}(1/\sqrt{2})}. \tag{1} $$

Para tanto, recorreremos à teoria padrão da fração contínua. Definir$(p_n)$ e $(q_n)$ pela seguinte relação:

$$ \begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix} = A_1A_2\dots A_n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad\text{where}\quad A_n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

Então é rotina verificar se

\begin{align*} p_0 &= 1, & p_1 &= 1, & p_{n+2} &= p_{n+1} + (n+1) p_n, \\ q_0 &= 0, & q_1 &= 1, & q_{n+2} &= q_{n+1} + (n+1) q_n. \end{align*}

Além disso, se $f_A(z) = \frac{a_{11}z+a_{12}}{a_{21}z+a_{22}}$ denota a transformação fracionária linear induzida pelo $2\times2$ matriz $A=[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq 2}$, então nós temos:

$$ \frac{p_n}{q_n} = f_{A_1\dots A_n}(\infty) = (f_{A_1}\circ\dots\circ f_{A_n})(\infty) = 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{\ddots+\dfrac{\ddots}{1+\dfrac{n-1}{1}}}} $$

A teoria padrão também afirma que isso converge como $n\to\infty$. Portanto, é suficiente calcular o limite como$n\to\infty$. Para este fim, observe que ambos$p_n$ e $q_n$ estão aumentando e divergem para $\infty$. Além disso, se introduzirmos as funções geradoras exponenciais de$(p_n)$ e $(q_n)$ de

$$ y_p (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p_n}{n!}x^n \quad\text{and}\quad y_q (x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q_n}{n!}x^n, $$

então eles satisfazem

$$ y_p' = (1+x)y_p \quad\text{and}\quad y_q' = 1 + (1+x)y_q. $$

Essas equações, juntamente com as condições iniciais $y_p(0) = p_0 = 1$ e $y_q(0) = q_0 = 0$, pode ser resolvido pelo método do fator de integração, e obtemos

$$ y_p(x) = e^{x+\frac{x^2}{2}} \quad \text{and} \quad y_q(x) = e^{x+\frac{x^2}{2}}\sqrt{\frac{\pi e}{2}} \left( \operatorname{erf}\left(\frac{1+x}{\sqrt{2}}\right) - \operatorname{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right). $$

Agora, invocando o argumento padrão para o teorema abeliano,

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{q_n} = \lim_{x\to\infty} \frac{y_p(x)}{y_q(x)} = \sqrt{\frac{2}{\pi e}} \frac{1}{\operatorname{erfc}\left(1/\sqrt{2}\right)} $$

como requerido.