Regras de dedução envolvendo conjunto $\Gamma$de premissas versus regras de dedução natural de livros didáticos elementares. Como eles diferem exatamente?

Question

Em livros didáticos elementares, as regras de dedução natural são apresentadas da seguinte maneira, digamos, para $\&$-Intro

a partir de $\phi$ e $\psi$, inferir $\phi\&\psi$

ou

$(n).....\phi$

$(m)....\psi$

$\therefore$

$(p)....\phi\&\psi$.

Eu gostaria de saber em que medida a seguinte maneira de declarar $\&$-Intro difere da apresentação de livro didático "comum" acima. A maneira como estou me referindo é aquela que encontro na apresentação de Shapiro da lógica clássica (https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/#Dedu):

(& I) Se Γ1⊢θ e Γ2⊢ψ, então Γ1, Γ2⊢ (θ & ψ).

(significando: "se $\theta$ é derivado de um conjunto de premissas $\Gamma_1$ anf se $\psi$ é derivado de um conjunto de premissas $\Gamma_2$, então $(\theta\&\psi)$ é derivado de um conjunto de premissas $\Gamma_1\cup\Gamma_2$. ")

A apresentação de Shapiro pode ser chamada de " dedução natural "? Ou melhor, é um caso de " cálculo sequencial" ?

À parte: você conhece algum livro-texto para iniciantes em lógica matemática que exiba exemplos de derivações no estilo de Shapiro?

Answer 1

A regra do 'livro didático elementar' é que: quando$\phi$ e $\psi$ pode ser derivado, então podemos inferir que $\phi\mathop\&\psi$pode ser derivado . Não é declarado que essas derivações ocorrem no mesmo contexto (premissas e suposições). Esta regra de inferência pode ser resumida como$$\dfrac{~\phi\qquad\psi~}{\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$

As regras de 'cálculo sequencial' estendem isso para listar explicitamente em que contexto as coisas são derivadas. A mesma regra acima pode ser apresentada com o contexto ($\Gamma$, um conjunto de declarações) declarado explicitamente: $$\dfrac{~\Gamma\vdash\phi\qquad\Gamma\vdash\psi~}{\Gamma\vdash\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$

Podemos então estender a regra para dizer: quando$\phi$ e $\psi$pode ser derivado em contextos$\Gamma_1$ e $\Gamma_2$respectivamente, então podemos inferir que$\phi\&\psi$pode ser derivado no contexto unido,$\Gamma_1\cup\Gamma_2$.

$$\dfrac{~\Gamma_1\vdash\phi\qquad\Gamma_2\vdash\psi~}{\Gamma_1\cup\Gamma_2\vdash\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$

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Resumindo: a apresentação avançada diz a mesma coisa que a apresentação elementar, mas com alguns detalhes adicionais adicionados.