Relacionamento entre $H^1(X, \mathbb{T})$ e pacotes de linha complexos

Question

Deixar $X$ ser um espaço métrico compacto e considerar o grupo de cohomologia de feixe $H^1(X, \mathbb{T})$. De uma classe em$H^1(X, \mathbb{T})$, Eu posso conseguir um diretor $\mathbb{T}$-bundle over $X$e a partir disso, um feixe de linhas complexo associado. Qual é a relação entre as classes em$H^1(X, \mathbb{T})$e pacotes de linha complexos? Uma classe me dá o mesmo pacote de linha até o isomorfismo?

Answer 1

Pelo menos se $X$ tem o tipo de homotopia de um complexo CW, há um isomorfismo natural entre $H^1(X; \mathbb T)$ e o grupo de classes de isomorfismo de pacotes de linha em $X$ sob tensor produto.

A maneira usual como isto é expresso é que a primeira classe Chern define um isomorfismo do grupo de feixes de linha para $H^2(X;\mathbb Z)$. Por exemplo, e para uma prova, consulte Hatcher, "Vector bundles and$K$-teoria ", Prop. 3.10 (p. 86).

Agora considere a curta sequência exata de polias

$$0\to \mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z\to 0,$$

Onde $\mathbb R$ carrega a topologia contínua (ou seja, este é o feixe de funções contínuas com valor real em $X$) Nós temos$\mathbb R/\mathbb Z\cong\mathbb T$. Há uma longa sequência exata induzida em cohomologia, mas como Donu Arapura observa em uma resposta a uma pergunta diferente do MathOverflow ,$H^k(X;\mathbb R)$ desaparece por $k > 0$. Portanto, a longa sequência exata simplifica para

$$ 0 \to H^1(X; \mathbb T)\longrightarrow H^2(X; \mathbb Z)\to 0, $$

tão $H^1(X;\mathbb T)$é isomórfico ao grupo de feixes de linha. Demora um pouco mais de trabalho para ver que o isomorfismo é o mesmo que o mapa que você descreveu (pacote de linhas associado a um principal$\mathbb T$-bundle), mas isso também é verdade.

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Nem todos os espaços métricos compactos têm o tipo de homotopia de complexos CW, como observado por Milnor (final da seção 1). Infelizmente não sei qual é a resposta à sua pergunta para esses espaços.