Resolvendo recursão por analogia com uma equação diferencial

Question

Eu me deparei com este problema:

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Vamos sequência $u_n$ ser definido por seu primeiro termo $u_0 > 0$ e $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Encontre uma fórmula assintótica para $u_n$.

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Achei que poderíamos resolver por analogia com a equação $$f' = \frac{1}{f}$$ que dá a fórmula assintótica $u_n \sim \sqrt{2 n}$, e esta é realmente a resposta certa.

De forma mais geral, devemos tomar $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, quais seriam as condições em uma função contínua, positiva e decrescente $f$ de modo que o método de analogia com uma equação diferencial fornece a fórmula assintótica correta?

Muito obrigado !

Answer 1

Conforme observado no comentário abaixo, esta resposta está incorreta

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Suponha que $y$ é uma solução para a equação diferencial $y' = f(y)$, e $u_n$ resolve a recorrência $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ com $u_0 = y(0)$. Pelo teorema do valor médio, descobrimos que para todos$n$, existe um $c \in [n,n+1]$ para qual $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Porque $f$ está diminuindo, nós temos $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Agora, suponha que $w_n$ satisfaz $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, e $w_0 = y(1)$. Nós encontramos indutivamente que$u_n \leq y(n) \leq w_n$. Em particular, consideramos que se a desigualdade se mantém para$n = k$, então $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ e a desigualdade $y(k+1) \geq u_{k+1}$ pode ser visto de forma semelhante.

Com isso, podemos concluir o seguinte: se $f$ é tal que a recorrência $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ tem a mesma assintótica para todos $u_0 > 0$, então segue-se que os assintóticos da sequência $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ gerado a partir de uma solução para $y' = f(y)$ com $y(0) > 0$ são os mesmos.