Se o lado superior for preto, qual é a chance de o outro lado ser branco?

Question

Pergunta : Um chapéu contém várias cartas, com 30% brancas em ambos os lados, 50% pretas em um lado e brancas no outro, 20% preto em ambos os lados. As cartas são misturadas e, em seguida, uma única carta é sorteada aleatoriamente e colocada na mesa. Se o lado superior for preto, qual é a chance de o outro lado ser branco?

Minha tentativa : usando a definição de probabilidade condicional, obtemos,$P(W|B)=\frac{P(W\cap B)}{P(B)}=0.5/0.7=5/7$

Mas a resposta real é 5/9. Onde é que eu me enganei?

Answer 1

Não é tão simples.

A probabilidade de que a parte superior da carta escolhida seja preta não é $0.7$ e aqui está o porquê:

Existe um $0.2$chance de escolhermos uma carta preta em ambos os lados. Bastante fácil ... No entanto, quando trazemos o$0.5$chance de um cartão preto / branco, precisamos levar em consideração qual lado está voltado para cima. Pareceria natural supor que qualquer um dos lados pudesse subir com igual probabilidade. Então há um$0.5^2$chance de que um cartão preto / branco seja escolhido e o lado preto esteja voltado para cima, trazendo a probabilidade total de que o preto é o lado superior do cartão escolhido para$0.2 + 0.5^2$

Agora que esse fato foi revelado, talvez você consiga resolver o problema aqui!

Answer 2

Uma maneira de pensar sobre isso é, em vez disso, analisar os eventos como qual carta é escolhida + sua orientação. Portanto, em vez de ter 3 eventos (WW, BW, BB), temos 4 eventos (WW, BW, WB, BB).

Então as probabilidades são

WW: 30%

BW: 25%

WB: 25%

BB: 20%

Quando pegamos uma carta aleatória e a colocamos em uma orientação aleatória, vemos que ela é preta no topo, então pode ser BW ou BB. Há 25% de chance de acontecer BW e 20% de chance de BB acontecer, então temos$\frac{25}{25+20} = \frac{5}{9}$.

Answer 3

Eu pensaria nisso não como escolher uma carta, mas escolher um lado (de alguma carta). E vamos fingir que temos$100$cartões. Então você escolhe aleatoriamente um dos$200$lados. Então há$50\cdot1+20\cdot2=90$lados pretos. Daqueles,$50$vem com o branco do outro lado. então$\frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ chance para o outro lado branco.