Se Z | Y ~ Bin (p, y) e Y ~ Poisson (L), então Z ~ Poisson (p * L)? [duplicado]
Eu verifiquei se essa pergunta foi respondida antes, mas por causa da notação, é difícil de ver. Estou lendo um artigo que define os dois seguintes RVs$$ z \mid y \sim Binomial(\pi, y) \\ y \sim Poisson(\lambda) $$ então conclui (por integração e Regra de Bayes) que $$ z \sim Poisson(\pi \cdot \lambda) \\ y - z \sim Poisson( (1 - \pi)\cdot \lambda) $$
Tentei calcular no papel, mas como não sou um estatístico treinado, não tenho certeza de onde estou errando. Se eu quiser derivar$z \sim Poisson(\pi\lambda)$, então eu uso a probabilidade condicional, ou seja, $$ p(z) = \int_y p(z, y) \,\, dy $$ Onde $p(z, y)$é a probabilidade conjunta. Expandindo isso, eu tenho$$p(z) = \int_y {y\choose z} \pi^z (1 - \pi)^{(y - z)} \frac{e^\lambda \lambda^y}{y!} \, \, dy $$ mas estou supondo que preciso chegar à seguinte equação de alguma forma $$p(z) = \frac{e^{\pi\lambda} (\pi\lambda)^{z}}{z!}$$mas não fui capaz de manipular a integral acima para obter esta forma. Não tenho certeza se isso é possível.
Respostas
Isso segue de alguma teoria de distribuição razoavelmente padrão. Definir$Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$ e $Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ independentemente, e deixe $Y = Y_1 + Y_2$ e $Z = Y_1$. Em seguida, os seguintes fatos são derivados rapidamente:
$Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ (pode ser verificado calculando a função de geração de momento).
$[Z \mid Y = y] \sim \text{Binomial}(\pi, y)$ porque, usando independência,
$$ f(z \mid y) = \frac{\Pr(Y_1 = z, Y_2 = y - z)}{\Pr(Y = y)} = \binom{y}{z} \pi^z (1 - \pi)^{y-z} $$
- É verdade por definição que $Y - Z = Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ e essa $Z = Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$, quais são os resultados que você queria.
Portanto, existem $Z$ e $Y$ com as propriedades que você deseja, mas uma vez que a distribuição conjunta é caracterizada exclusivamente por suas condições para $(Z,Y)$segue-se que isso é verdade para todos $Z$ e $Y$ satisfazendo suas condições.
É um pouco de álgebra, mas aqui está minha tentativa
A expressão da densidade depois de retirar os termos que não envolvem $y$ está
$$ p(z) = \pi^z \exp(\lambda) \sum_{z \leq y} \binom{y}{z} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{y!}$$
o $y!$ cancela do coeficiente binomial
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{{z \leq y}} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{(y-z)!}$$
E como o índice é apenas para $0\leq y-z$, então deixa $k=y-z$
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k+z}}{(k)!}$$
Simplificando mais
$$ = (\lambda\pi)^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k}}{(k)!}$$
Você notará que a soma é a expressão para $\exp(\lambda - \lambda \pi)$
E assim acabamos com
$$ p(z) = (\lambda \pi)^z \dfrac{\exp(-\pi\lambda)}{z!}$$
O que eu acredito que significa
$$z \sim \operatorname{Poisson}(\pi \lambda)$$
Para obter $E(Z)$ e $Var(Z),$isso pode ser visto como uma soma aleatória de variáveis aleatórias. Em particular,$Z$ é a soma de um número aleatório $Y$ de variáveis aleatórias de Bernoulli, cada uma com probabilidade de sucesso $\pi.$
Aqui está um histograma de 100.000 realizações simuladas de $Z,$ usando $\lambda = 20, \pi = 0.4$ junto com probabilidades exatas (centros de círculos vermelhos) para $\mathsf{Pois}(8).$
set.seed(2020)
lam = 20; pp = 0.4
y = rpois(10^5, lam)
z = rbinom(10^5, y, pp)
summary(z)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 6.000 8.000 8.001 10.000 22.000
mx = max(z); cutp = (-1:mx)+.5
hdr = "Histogram of Simulated Z with Density of POIS(8)"
hist(z, prob=T, br=cutp, col="skyblue2", main=hdr)
points(0:mx, dpois(0:mx, pp*lam), col="red")
Notas: (1) @aleshing está correto ao dizer que, por conta da discrição, a integral deve ser tratada como uma soma.
(2) No código R: não pode ser usado pipara$\pi$porque é uma constante reservada em R. Se yacontecer de retornar$0,$ rbinom está programado para retornar $0.$
(3) Caso seja de interesse: apostila do curso UNL sobre soma aleatória de variáveis aleatórias .