Sem álgebra, por favor, somos geômetras

Question

Dado um triângulo retângulo com lados $ABC$ faça mais dois triângulos retângulos usando lados $A$ e $C$ (lado longo) e um novo lado longo $x$(o mesmo para os dois novos triângulos). Por Pitágoras, os terceiros lados implícitos terão comprimentos$a$ e $c$ de tal modo que $a^2+A^2 = x^2 = c^2+C^2$.

Agora, usando um pouco de álgebra, posso mostrar que, se pudermos formar um triângulo com lados $aBc$ deve estar certo também, viz .: $B^2+c^2 = B^2 + x^2 - C^2 = x^2 - A^2 = a^2$

Mas isso parece errado como um instrumento voando em um dia ensolarado.

Você pode

• ou reorganizar a figura de forma a torná-la ($aBc$ está certo) óbvio
• ou faça um argumento geométrico direto
• ou uma combinação de ambos?

Observe na figura. Por infeliz coincidência (trocadilho intencional), o círculo roxo parece passar$\angle AB$. Isso não é necessariamente o caso. O círculo é o do raio$c$ por aí $\angle BC$

Answer 1

Considere a terceira dimensão.

Suponha que escolhemos um ponto no plano através$B$perpendicular ao plano do triângulo. Isso cria três novos triângulos. O triângulo sobre$A$está sempre certo. (Isto é$Axa$.) O triângulo sobre $C$ está certo em $BC$ se e somente se o ponto estiver diretamente acima do vértice $BC$ (ou seja, a linha através do novo ponto e vértice $BC$é perpendicular ao plano do triângulo original). (Isto é$Cxc$.) Neste caso, o triângulo sobre $B$ está claramente certo também (também em $BC$) (Isto é$aBc$.)