Solicitação de prova alternativa: Se $C=\{x^2,x\in S\}$, mostre isso $\sup(C)=\max\{\sup(S)^2,\inf(S)^2\}$

Question

Esta questão tem apenas uma resposta usando teoremas baseados na continuidade de uma função não decrescente. Embora eu (acho que) possa entender a resposta, tenho esse mesmo exercício, mas ainda não estudamos continuidade, estamos estudando números reais e nos preparando para estudar sequências. Talvez por ter visto essa resposta, a única maneira que vejo de provar isso é usando a continuidade também, mas deve haver uma maneira de não usar esses teoremas sobre a continuidade. Alguém poderia me mostrar a maneira de provar isso apenas com as propriedades de números reais / supremum / infimum / etc?

Qualquer ajuda seria apreciada.

Answer 1

Dica

• Suponha $S\subset [0,\infty )$. Deixei$c=\sup C$ e $s=\sup(S)$. Deixei$\varepsilon >0$. Há sim$x\in C$ st $c-\varepsilon \leq x^2\leq s^2$. Uma vez que vale para todos$\varepsilon >0$, nós $c\leq s^2$.

• Suponha que $c<s^2$, ou seja, há $x\in S$ st $c<x^2\leq s^2$. Isso contradiz o fato de que$c=\sup\{x^2\mid x\in S\}$.

Portanto $c=s^2$ como desejado.

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Eu deixo você adaptar a prova no caso de $S\subset \mathbb R$ em vez de $S\subset [0,\infty )$ só.