Solução particular de equação diferencial parcial
Precisa de ajuda para resolver isso.
Encontre a solução particular da equação diferencial $$u_y = (5x + 2)u$$ que satisfaça os dados $u(x, x^2) = x^3$.
Normalmente tento encontrar a equação característica, mas só consigo ver $u_y$ aqui.
Respostas
Tratamos é como uma ODE, usando um fator integral adequado: $$ u_y(x,y)=(5x+2)u(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y} u_y(x,y)-\mathrm{e}^{-(5x+2)y}(5x+2)u(x,y)=0 \\ \quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)=f(x) $$ para alguma função $f(x)$ a ser encontrado.
Conseqüentemente $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x). $$ Agora, $u(x,x^2)=x^3$, fornece que $$ x^3=u(x,x^2)=\mathrm{e}^{(5x+2)x^2}f(x) $$ e, portanto $$ f(x)=\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3 $$ Completamente $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3= \mathrm{e}^{(5x+2)(y-x^2)}x^3. $$