soma sobre coeficientes multinomiais parciais

Question

Portanto, o teorema multinomial padrão afirma que $$ \sum_{i_1,\ldots,i_m} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m}\cdot [i_1+\cdots +i_m=n]=m^n $$ onde a soma é sobre números não negativos e $[\cdot]$ é a função de indicador que é igual a $1$ se e apenas se $\cdot$ está satisfeito e $0$de outra forma. Agora, sabemos alguma coisa sobre dizer (até mesmo$m$ e $n$ sendo um poder de $2$), $$ \sum_{i_1,\ldots,i_m} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m}\cdot [i_1+\cdots +i_{m/2+1}\geq n/2]\cdot [i_1+\cdots +i_m=n]? $$ ou $$ \sum_{i_1,\ldots,i_m} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m}\cdot [i_1+\cdots +i_{m/2+2}\geq 3n/4]\cdot [i_1+\cdots +i_m=n]? $$ ou em geral $$ \sum_{i_1,\ldots,i_m} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m}\cdot [i_1+\cdots +i_{m/2+k}\geq (2^k-1)n/2^k]\cdot [i_1+\cdots +i_m=n]? $$ para arbitrário $k\in \{1,\ldots,m/2\}$? Eventualmente, para grande o suficiente$k$ isso apenas converge para a declaração do teorema multonimial padrão.

Em geral, estou tentando entender ou limitar a quantidade a seguir $$ \sum_{i_1,\ldots,i_m} \binom{n}{i_1,\ldots,i_m}\cdot \prod_{k=1}^{m/2}[i_1+\cdots +i_{m/2+k}\geq (2^k-1)n/2^k] $$ Qualquer sugestão / ajuda seria apreciada!

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{m\ \mbox{and}\ n}$são números pares . Então, vamos definir$m \equiv 2M$ e $n = 2N$ Onde $\ds{M, N, \in \mathbb{N}_{\ \geq\ 0}}$.

Vamos estudar uma das expressões acima. Ou seja, o primeiro não padronizado :\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\sum_{k_{1},\ldots,k_{2m}}{2N \choose k_{1},\ldots,k_{2M}} \bracks{k_{1} + \cdots + k_{M + 1} \geq N}} \\[5mm] = & \sum_{s = N}^{\infty}\sum_{k_{1},\ldots,k_{2M}\ =\ 0}^{\infty}{\pars{2N}! \over k_{1}!,\ldots,k_{2M}!} \bracks{k_{1} + \cdots + k_{M + 1} = s} \\[5mm] = &\ \pars{2N}!\sum_{s = N}^{\infty}\sum_{k_{1},\ldots,k_{2M}\ =\ 0}^{\infty}{1 \over k_{1}!,\ldots,k_{2M}!} \bracks{z^{\large s}}z^{k_{1} + \cdots + k_{M + 1}} \\[5mm] = &\ \pars{2N}!\sum_{s = N}^{\infty}\bracks{z^{\large s}} \pars{\sum_{k = 0}^{\infty}{z^{k} \over k!}}^{M + 1} \pars{\sum_{q = 0}^{\infty}{1 \over q!}}^{M - 1} \\[5mm] = &\ \pars{2N}!\expo{M - 1}\sum_{s = N}^{\infty}\bracks{z^{\large s}} \expo{\pars{M + 1}z} \\[5mm] = &\ \bbx{\pars{2N}!\,\expo{M - 1} \sum_{s = N}^{\infty}{\pars{M + 1}^{s} \over s!}} \\ & \end{align}