Subespaços complementares, questão Verdadeiro/Falso

Question

Verdadeiro ou falso?

$W_1$,$W_2$e$W_3$são subespaços do espaço vetorial$V$. Se$W_1 ⊕ W_2 = V$e$W_1 ⊕ W_3 = V$, então$W_2 = W_3$.

Na verdade, essa pergunta menor foi feita em um exame e eu disse que era verdade, mas depois me disseram que era falsa. Alguém pode me explicar por que, para que eu possa ver intuitivamente na minha cabeça que é realmente falso. Só então posso apresentar um contra-exemplo.

Desde já, obrigado.

Answer 1

$W_2$e$W_3$são isomórficos, mas podem não ser o mesmo subespaço.

Uma maneira de olhar para isso é primeiro escolher uma base$B$do$W_1$. Existem diferentes maneiras de estender essa base para uma base de$W_1 \oplus W_2$, então os vetores adicionais adicionados a$B$pode abranger diferentes subespaços.

Outra maneira é imaginar um automorfismo$\alpha$do$V$, (ou seja$\alpha:V \to V$é uma aplicação linear invertível). Suponha que$W_1$é um subespaço invariante de$\alpha$. Então$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$por tudo isso$\alpha$.

Answer 2

Realmente está errado! Você tem por exemplo que$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$mas$$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$