$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
Da Teoria da Função Zeta de Riemann, de Titchmarsh , página 13:
Deixei $\phi (x)$ ser qualquer função com uma derivada contínua no intervalo $[a,b]$. Então se$[x]$ denota o maior número inteiro não excedendo $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
Não há prova disso no livro e não sei qual é o 'nome' desse teorema. Eu gostaria de entender esse teorema, mas não sei por onde começar.
Respostas
Deixei $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, Onde $\{t\}$ é a parte fracionária de $t$.
Esboço da prova:
Deixo os detalhes para você. Aqui está uma maneira de abordar essa identidade.
- Primeiro, observe que $\rho$ é um $1$- função periódica, e que $\rho'(t)=-1$ para $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. Para$k\leq \alpha<b\leq k+1$, use a integração por partes duas vezes (uma vez com $u=f(t)$ e $dv=\rho'(t)\,dt$; e outro com$u=f'(t)$ e $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) para obter
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
Agora você pode adicionar mais de intervalos inteiros $[k,k+1]\subset(a,b]$ e depois em intervalos potencialmente fracionários $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ para obter o resultado desejado.
Edit: Uma prova mais geral e elegante pode ser obtida pela integração por partes:
Lema: vamos$F$ e $G$ ser funções contínuas à direita de variação localmente finita em $I$, e deixar $\mu_G$, $\mu_F$ são as medidas assinadas induzidas por $G$ e $F$respectivamente. Então, para qualquer intervalo compacto$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ Onde $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.
Para o OP,
Considere a medida de contagem $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ e a medida Lebesgue $\lambda$, ambos definidos em $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. Deixei$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. Notar que$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
Aplicando o Lema acima com $f$ no lugar de $F$ e $\Phi$ no lugar de $G$, nós temos isso $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ e $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ e entao,
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
de onde a mudança $\Phi(t-)$ para $\Phi(t)$ segue do fato de que $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-Como
A conclusão segue adicionando e subtraindo $\frac12$ na última integral.
Isto é por Abel-Soma: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ Onde $B_1(x)$é o primeiro polinômio de Bernoulli. Como mencionado antes, o$1/2$-termos são redundantes.
Ao integrar sucessivamente por partes usando $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, você obterá a fórmula de Euler-Maclaurin se $a,b$ são inteiros.