Topologia fraca de espaço normalizado

Question

Deixei $X,Y$ ser dois espaços normados e $T:X\rightarrow Y$ ser operador linear limitado. Agora, considere $X,Y$com topologia fraca. Minha pergunta é que sim$T$ mapeia um conjunto fracamente compacto de $X$ para compactar fracamente o conjunto de $Y$ e a segunda questão é que $T$ permanece um mapa contínuo se equiparmos $X,Y$ com topologia fraca.

Answer 1

E se $V$ é um elemento de sub-base de $\tau_w$ dentro $Y$ contendo $0_Y$, então há um funcional $\phi:Y\to \mathbb F$ e $\epsilon>0$ de tal modo que $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Então,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Agora$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ é um funcional linear contínuo (norma), então $T^{-1}(V)$ é fracamente aberto em $X$ e contém $0_X$. Segue que$T$é contínuo fraco-fraco. Isso dá uma resposta afirmativa à segunda questão, que por sua vez dá uma resposta afirmativa à primeira.

Answer 2

Essa resposta não fornece nada de novo, mas acho que uma explicação em termos de sequências pode ser mais clara. A questão da compactação segue de continuidade fraca a fraca (a implicação é válida para topologias arbitrárias), portanto, basta mostrar a última.

Suponha $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Então, para todos$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. Em particular, qualquer dual da forma$g\circ T$, Onde $g\in Y^*$, irá satisfazer $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Mas isso é só $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.