Transformada de Fourier de $L^1$ função cuja derivada está em $L^1$ e desaparece no infinito em $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ é uma função diferenciável de forma que $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, provar que a transformada de Fourier de $f$ notado $\hat{f}$ é em $L^1 (\mathbb{R})$

Eu sei se $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, então $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$mas não tenho nenhuma ideia de como usar a condição de que a derivada desapareça no infinito. Todas as ideias serão úteis.

Answer 1

Duas dicas:

Use o fato de que $f'$ é obrigado a mostrar que $f' \in L^2$ e o uso de Plancherel.

Observe que $f'$ é limitado e desde$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ nós vemos que $f' \in L^2$. Então Plancherel mostra que$\hat{f'} \in L^2$. Observe que$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Use Cauchy Schwartz e observe que para $\omega \neq 0$ temos $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Para $\omega \neq 0$ temos $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ e Cauchy Schwartz dá $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.