Triângulo com a área no máximo$\frac{7}{12}$.

Question

Suponha que existam$75$pontos dentro de um cubo unitário de modo que não haja três pontos colineares. Prove que é possível escolher três pontos dos dados acima que formem um triângulo com a área no máximo$\frac{7}{12}$. Como é possível obter a área do triângulo a partir desses dados fornecidos? Por favor ajude. Desde já, obrigado.

Answer 1

Divida o cubo unitário em 27 cubos de tamanho$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

Pelo princípio da casa dos pombos, um desses cubos contém 3 dos 75 pontos. Da condição dada, esses pontos não são colineares. Então eles formam um triângulo

Em um cubo de lado$a$, a área máxima de um triângulo que pode caber nele é$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Para lado$\frac{1}{3}$, isto é$\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Portanto, esses três pontos formam um triângulo de área menor que$\frac{7}{12}$

Answer 2

Escolha os pontos$(0,0,0)$e$(1,1,z)$e$(1,1,0)$. A área desse triângulo é$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Agora escolha$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Existem infinitas maneiras de colocar os 72 pontos restantes, portanto, deve haver maneiras de fazer com que nenhum dos 3 pontos seja não colinear.

Os pontos restantes podem, por exemplo, estar no plano$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$e formar uma forma circular.