Último teorema de Fermat $\pm1$

Nov 27 2020

Estou planejando um desafio no Code Golf.SE sobre inteiros$a, b, c \ge 0$ de tal modo que

$$a^n + b^n = c^n \pm 1$$

para um dado inteiro $n > 2$. No entanto, estou interessado em saber se existem soluções não triviais para isso para um determinado$n$. Aqui, estou definindo soluções "não triviais" como triplas$a, b, c$ todos os três são únicos e diferentes de zero (ou seja, para evitar $(a, 1, a)$ e $(a, 0, a)$e triplos relacionados).

Eu encontrei esta pergunta que faz uma pergunta relacionada (e mais ampla) sobre a existência de tais triplos, e os estados de resposta aceitos

Eu acho que se $n\ge5$ (e assumindo a conjectura ABCD), então para qualquer $k$, a equação $$ a^n + b^n - c^n = k $$ tem apenas um número finito de soluções $a,b,c\in\mathbb{Z}$ com $|a|,|b|,|c|$ distinto e diferente de zero.

No entanto, isso não indica totalmente se há um número diferente de zero de soluções distintas e diferentes de zero.

Este é um programa que tenta encontrar esses triplos, com$0 \le a, b, c \le 100$, dado uma entrada $n$, mas até agora não encontrou nenhum para $n = 4$ ou $n = 5$, e ele expira se você aumentar o limite superior em qualquer valor significativo.

Portanto, minha pergunta é:

  • Pode ser mostrado que, para todos os inteiros $n > 2$, a equação $a^n + b^n = c^n \pm 1$ tem pelo menos 1 solução não trivial, para $a, b, c \ge 0$?
  • Se não, expandir o intervalo para $a, b, c$ para $\mathbb{Z}$ afetar ou alterar isso?

Respostas

14 RobertIsrael Nov 27 2020 at 02:46

[EDITADO] É provável que não haja soluções para $n \ge 4$. Para$n \ge 5$uma solução seria um contra-exemplo para a conjectura de Lander, Parkin e Selfridge . O melhor FLT "quase acidente" que eu conheço é$13^5 + 16^5 = 17^5 + 12$.

5 Zhi-WeiSun Nov 29 2020 at 07:03

Em uma mensagem " Uma conjectura relacionada ao Último Teorema de Fermat " enviada para a Lista da Teoria dos Números em 26 de setembro de 2015, eu escrevi o seguinte:

Em 1936, K. Mahler descobriu que $$(9t^3+1)^3 + (9t^4)^3 - (9t^4+3t)^3 = 1.$$ Claramente, $$|1^n+1^n-2^n| = 2^n-2\ \mbox{for every}\ n = 4,5,6,\ldots$$ e $$13^5+16^5-17^5 = 371293+1048576-1419857 = 12 < 2^5-2.$$

Aqui, relato minha seguinte conjectura, que pode ser vista como um refinamento adicional do Último Teorema de Fermat.

CONJECTURE (24 a 25 de setembro de 2015). (i) Para quaisquer números inteiros$n > 3$ e $x,y,z > 0$ com $\{x,y\}\not= \{1,z\}$, temos $$|x^n+y^n-z^n|\ge2^n-2,$$

a não ser que $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ e $z = 17$.

(ii) Para quaisquer números inteiros $n > 3$ e $x,y,z > 0$ com $z\not\in\{x,y\}$, há um primo $p$ com $$x^n+y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n+y^n, $$

a não ser que $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ e $z = 17$.

(iii) Para quaisquer números inteiros $n > 3$, $x > y \ge0$ e $z > 0$ com $x\not=z$, sempre existe um primo $p$ com
$$x^n-y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n-y^n. $$

Eu verifiquei essa nova conjectura via Mathematica. Por exemplo, eu verifiquei parte (i) da conjectura para$n = 4,\ldots,10$ e $x,y,z=1,\ldots,1700$.