Um cálculo no campo das funções racionais.

Question

Em Dummit and Foote 3 ed., Capítulo 14, Seção 2, Exercício 30, me perguntam o seguinte:

Deixei $ k $ ser um campo, $ k(t) $ o campo das funções racionais na variável $ t $. Defina os mapas$ \sigma $ e $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ por $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ para $ f(t) \in k(t) $. Prove que o campo fixo de$ \langle \tau \rangle $ é $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $, o campo fixo de $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ é $ k(t(1-t)) $; determinar o campo fixo de$ \langle \tau \sigma \rangle $ e $ \langle \sigma \rangle $.

A única parte com a qual estou lutando é o campo fixo de $ \langle \sigma \rangle $. Chame este campo fixo$ E = k(s) $, Onde $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $é alguma função racional. Observe , estou fazendo uma suposição aqui que$ E $ é da forma $ k(s) $, e até agora não pode justificar isso a priori . Eu mostrei em um exercício anterior do último capítulo que$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $, então, desde $ k(t)/k(s) $ é uma extensão Galois ($k(s)$ sendo o campo fixo de um subgrupo de automorfismos), espero $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ Tudo o que fui capaz de realizar neste ponto foi a resolução de equações de força bruta por computador, definindo $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ e resolver as equações resultantes de $ \sigma s = s $. Assim, encontrei o elemento$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $. Portanto, estou inclinado a concluir que$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ é o campo fixo de $ \langle \sigma \rangle $. Essa abordagem parece deselegante, e eu gostaria de saber quais ferramentas eu poderia ter usado para evitar uma busca insatisfatória e opaca no computador.

Answer 1

Para $G$ um subgrupo finito de $Aut(k(t)/k)$ então o subcampo fixo é $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ Onde $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$.

Então pegue qualquer coeficiente não constante $a_m(t)$, porque cada $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ é uma transformação de Möbius, percebemos que $a_m(t)$ tem no máximo $|G|$ pólos contados com multiplicidade (incluindo o pólo em $\infty$), portanto $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ o que implica que $$k(t)^G=k(a_m(t))$$

Editar por OP: para este problema, a técnica produz o elemento $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, reificando os cálculos do computador.