Um quilograma de material radioativo com meia-vida de 5 anos pode se decompor no minuto seguinte?
Eu me perguntei isso, já que meu professor nos contou sobre a meia-vida de materiais radioativos na escola. Parece-me intuitivo pensar dessa maneira, mas me pergunto se há uma explicação mais profunda que prova que estou errado.
Quando muitos átomos estão envolvidos, a meia-vida pode se manter estatisticamente, mas como o decaimento de um átomo individual é completamente aleatório e sem estado, todos os átomos em um 1 kg de matéria não podem simplesmente decidir decair no próximo minuto, mesmo que a probabilidade deste evento ocorrendo é extremamente pequeno?
Respostas
A resposta curta é sim . Não importa quantos átomos existam, sempre há uma chance (às vezes bem pequena) de que todos eles se decomponham no minuto seguinte. A resposta divertida é ver como essa probabilidade fica pequena para um grande número de átomos.
Vamos pegar o iodo-131 , que escolhi porque tem meia-vida razoável de cerca de$8$ dias = $\text{691,200}$segundos. Agora$1$ kg de iodo-131 terá cerca de $7.63 \times N_A$ átomos nele, onde $N_A$é a constante de Avogadro. Usando a fórmula de probabilidade de decaimento de um átomo no tempo$t$:
$$ P(t) = 1-\exp(-\lambda t), $$
e assumindo que todos os decaimentos são estatisticamente independentes$^\dagger$, a probabilidade de que todos os átomos tenham decaído em um minuto é:
$$ (1-\exp(-\lambda \times 60\,\text{s}))^{7.63\times N_A} $$
Onde $\lambda$ é a constante de decaimento, igual a $\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$, neste caso, quase exatamente $10^{-6}\,\text{s}^{–1}$. assim$$ P = (1-\exp(-6\times10^{-5}))^{7.63\times N_A} \\ \approx(6\times10^{-5})^{7.63\times N_A} \\ \approx (10^{-4.22})^{7.63\times N_A} \\ = 10^{-4.22\times7.63\times N_A} \\ \approx 10^{-1.94\times10^{25}} $$
(Eu escolhi iodo-131 como um exemplo concreto, mas praticamente qualquer átomo radioativo resultará em uma probabilidade semelhante, não importa qual seja a massa ou meia-vida.) Então, se você jogou este experimento em $10^{1.94\times10^{25}}$tais configurações, você esperaria que todos os átomos decaiam em uma das configurações, em média.
Para dar uma ideia de quão incompreensivelmente grande é esse número, existem "apenas" $10^{78}$ átomos no universo - isso é $1$ Seguido por $78$ zeros. $10^{1.94\times10^{25}}$ é $1$seguido por mais de um milhão de bilhões de bilhões de zeros. Prefiro apostar em cavalos.
$^\dagger$ Este modelo de distribuição de Poisson é uma aproximação simplificadora, mas talvez bruta neste cenário, uma vez que mesmo pequenos desvios da independência estatística podem somar grandes fatores de supressão, dado o número de átomos, e assim $10^{1.94\times10^{25}}$ é certamente um limite superior (é claro, a aproximação é totalmente justificada se os átomos forem separados até o infinito em $0 \text{ K}$, ou seus produtos de decomposição não têm energia suficiente para fazer mais do que um $1/N_A$- mudança de ordem na probabilidade de decaimento de outros átomos). Uma análise mais detalhada teria que ser adaptada especificamente para o isótopo em consideração - ou uma aproximação de próxima ordem poderia ser feita tornando a constante de decaimento$\lambda$uma função estritamente crescente do tempo. Tenha certeza de que a verdadeira probabilidade, embora muito mais difícil de calcular do que esta estimativa retroativa, ainda funcionará no território assustadoramente grande de$1$ dentro $1$ seguido por vários trilhões de zeros.
TLDR: modelos estatísticos são modelos e, portanto, por definição, não são um reflexo perfeito da realidade.
A resposta de Nihar é boa, mas vou abordá-la de uma direção diferente.
Em primeiro lugar, se olharmos apenas para a mecânica estatística, você pode executar a matemática e, claro, encontrará uma probabilidade extremamente pequena. Você pode parar por aí. Mas a mecânica estatística usa modelos estatísticos, e todos os modelos estão errados. Eles fazem suposições e necessariamente simplificam a realidade para resolver problemas complicados. Pode muito bem haver alguns processos físicos não explicados na mecânica estatística que negam qualquer possibilidade de uma decadência tão rápida.
Um exemplo clássico é ter uma sala e descobrir a probabilidade de que todo o oxigênio, de repente, esteja apenas na metade da sala. Do ponto de vista da mecânica estatística, é basicamente a probabilidade de jogar uma moeda justa um número inimaginavelmente grande de vezes e fazer com que todas caiam da mesma maneira. Mas, na realidade, o número inimaginavelmente pequeno que você calcularia não seria realmente correto, porque as suposições feitas por seu modelo não refletem perfeitamente a realidade (as partículas interagem umas com as outras, por exemplo). Muito parecido com a lei dos gases ideais, essas coisas são úteis, mas podem falhar completamente se você se desviar muito das suposições feitas. Isso é verdade para todos os modelos estatísticos, é claro.
Portanto, se assumirmos que o modelo estatístico de meia-vida é uma representação totalmente precisa da realidade, a resposta à sua pergunta é tecnicamente sim. Claro que sabemos que não, então isso me leva ao meu ponto final.
Há também um forte componente filosófico para esses tipos de perguntas, uma vez que estamos lidando com probabilidades que são tão pequenas que são efetivamente 0. Se alguém jogar uma moeda um bilhão de vezes e sair coroa toda vez que ninguém vai pensar que é uma moeda justa , porque obviamente não é *. Você também pode considerar a criptografia de última geração. A probabilidade de adivinhar aleatoriamente uma chave com sucesso é tão baixa que, para todos os efeitos, é 0. Ou imagine assistir a um vídeo de um monte de vidro quebrado formando um vaso. Sua conclusão não seria 'até mais, termodinâmica, não gostaria de ser você', seria 'Estou assistindo a um vídeo de um vaso quebrando ao contrário'. Sim, existem probabilidades tecnicamente mínimas associadas a esses eventos, mas é tão pequeno que dizer que eles são tecnicamente possíveis é mais uma afirmação filosófica do que qualquer outra coisa.
* A ideia de uma moeda justa é, por si só, uma toca de coelho. Como você determina que uma moeda é justa? Jogando-o várias vezes e observando um número quase igual de cabeças e caudas. Se ele se desviar muito de 50/50, declaramos que é tendencioso. Mas é claro que não importa o resultado que observamos, sempre há uma chance de que tenha sido uma moeda justa, portanto, tecnicamente, nunca podemos saber com certeza. Para fazer uso das estatísticas, então, devemos escolher arbitrariamente um ponto de corte para o acaso aleatório. Normalmente é 2 sigma, talvez 3. O CERN usa 5 sigma para a detecção de novas partículas, mas, novamente, isso é arbitrário. A estatística aplicada é tanto uma arte quanto um ramo da matemática.
Uma coisa a ter em mente é que esta não é apenas uma questão de estatística, e a analogia de átomos decaindo e jogando moedas pode ser enganosa.
Por exemplo, o urânio 235 tem meia-vida de mais de 700 milhões de anos, mas quando trazido na configuração certa (compactado) e na quantidade certa (acima da massa crítica), decai praticamente em um instante ... Simplesmente porque um a decadência de um átomo pode provocar a decadência de outro e assim por diante, em uma reação em cadeia.
Portanto, se você pode assumir que todas as decaimentos acontecem independentemente umas das outras, as respostas baseadas puramente em estatísticas são válidas. Se mais física do que estatística está envolvida, então depende do material exato, ou seja, qual material, é puro, em qual configuração, etc.
A resposta é não'. Este 'não' está no mesmo nível:
- Pode acontecer de você flutuar por 15 minutos no meio do seu quarto. (A mecânica estatística diz tecnicamente que sim, mas novamente com uma probabilidade zero para todos os fins práticos)
- Você pode colocar um macaco na frente de uma máquina de escrever e tirar romances de Shakespeare dela?
- Você pode caminhar através de uma parede sólida (probabilidade de túnel diferente de zero devido à mecânica quântica)
Para que isso aconteça no mundo real, você precisa começar com cerca de 3,8 milhões de quilogramas desse material.
Veja como você calcula esse número. Você começa com a fórmula conectando a meia-vida ao número de partículas ao longo do tempo
$$ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$
Agora você substitui $N(t)$ com o que você gostaria de ter $$ N_0 - 1~\text{kg} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$ E você resolve para $N_0$ $$ N_0 = \frac{1~\text{kg}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}}}$$ Neste ponto, é apenas uma questão de conectar $t=60~\text{s}$ e $t_{1/2}=5~\text{y}$.
Eu vejo que as pessoas neste site parecem pensar que você pode simplesmente multiplicar números para obter probabilidades e, portanto, a resposta é que a probabilidade é algo da ordem $10^{-10^{25}}$.
O problema com isso é que os eventos de decaimento não são eventos inteiramente independentes, então esse método de cálculo está errado. Está tudo bem como uma primeira aproximação MUITO aproximada, e a resposta certamente será um número minúsculo, mas a resposta não será este número minúsculo em particular. Você verá lendo porque coloquei o segundo "muito" em maiúsculas.
Existem efeitos cooperativos em toda a física. Por exemplo, no sólido em decomposição, as partículas emitidas por qualquer um dos núcleos perturbarão os outros. Este é um efeito minúsculo, mas quando consideramos eventos de probabilidade minúscula, temos que pensar sobre esses efeitos minúsculos. Outro fator é o campo eletromagnético circundante, que pode estar em um estado térmico, mas mesmo em seu estado de vácuo, produz efeitos correlacionados em toda a amostra. Os campos eletromagnéticos quase não têm efeito sobre o decaimento radioativo, mas qualquer coisa que possa afetar todos os núcleos de uma vez terá uma influência não desprezível em comparação com os números minúsculos que emergem de qualquer suposição de que todos os núcleos se comportam independentemente.
Vamos ter uma ideia geral da influência desses efeitos cooperativos. Para$n$ eventos independentes, cada um de probabilidade $p_0$, a probabilidade geral é $p_0^n$. Mas suponha que, se um evento acontecer, a probabilidade dos outros aumentar um pouquinho, a partir de$p_0$ para $p_1 = p_0(1 + \epsilon)$ para alguns muito pequenos $\epsilon$. Se esses eventos adicionais fossem independentes, então agora a probabilidade geral é da ordem$p_0 p_1^{n-1}$. Isso é maior que$p_0^n$ pela proporção $$ \frac{p_0 (p_0 + \epsilon p_0)^{n-1}}{p_0^n} = (1 + \epsilon)^{n-1} $$ Com $n$ da ordem do número de Avogadro, você pode ver que os valores de $\epsilon$ da ordem de $1/N_A$ seria suficiente para introduzir um aumento não desprezível na probabilidade geral, onde por "não desprezível" quero dizer "por um fator de ordem $1$". Mas a probabilidade geral permanece pequena.
Foi apenas um átomo influenciando os outros. Se cada um deles tem esse tipo de efeito, então um obtém o$(1 + \epsilon)$ fator elevado a uma potência de ordem $N_A^2$. Então, por este tipo de argumento, o número$10^{-10^{25}}$ com o qual comecei está errado por um fator que poderia facilmente ser tão grande quanto $2^{N_A}$. Não estou tentando expor a imprecisão com cuidado. Só estou dizendo que o cálculo baseado em$N_A$ processos independentes dão uma resposta final que está errada por um fator enorme.
Vamos considerar a seguir algum tipo de efeito cooperativo, como uma flutuação no campo eletromagnético suficiente para estimular todos os núcleos, o suficiente para fazê-los ultrapassar a barreira de energia para que o elétron ou partícula alfa ou o que seja possa escapar. Para perturbar os núcleos, são necessárias energias da ordem megaelétron volt, enquanto à temperatura ambiente a radiação térmica tem fótons de energias da ordem$k_B T \simeq 0.026$eV. Mas se confiarmos no fator Boltzmann, então podemos estimar aproximadamente uma chance de$\exp(-E/k_B T)$ para obter uma excitação de um modo de energia $E$. Com$E = 1$ MeV que dá $\exp(-4 \times 10^7)$à temperatura ambiente. Com "todos esses" fótons de raios gama ao redor, o processo de decaimento radioativo vai acontecer de maneira um pouco diferente. Claro que essa probabilidade é pequena, mas é muito maior do que$10^{-10^{25}}$, portanto, deve ser levado em consideração antes de anunciar que esse último número está quase certo. Isso ocorre porque mesmo a menor quantidade de qualquer tipo de correlação ou efeito cooperativo será suficiente para superar a probabilidade de vários eventos independentes.
Pode-se estimar o efeito desses raios gama térmicos descobrindo a seção transversal para o decaimento estimulado por gama e fazendo um cálculo de espalhamento. Não sei a resposta, mas será enorme em comparação com$10^{-10^{25}}$.
Em resumo, a resposta curta à pergunta originalmente colocada é "não, isso não pode acontecer". A resposta mais longa então admite que a física sugere que há uma probabilidade muito pequena diferente de zero de que isso possa acontecer, assim como há para várias outras ocorrências bizarras. Para o valor da probabilidade, nenhum cálculo rápido pode chegar nem perto da ordem de magnitude certa. Para estimá-lo, primeiro faz-se o cálculo do decaimento independente para se certificar de que essa não é a rota mais provável pela qual isso poderia acontecer. Então, fica-se com o problema muito mais difícil de pensar que tipo de efeitos físicos podem fazer com que vários núcleos se decomponham ao mesmo tempo, e estimá-los. Acho que a resposta deve ser pequena comparada a esse número$\exp(-4 \times 10^7)$que mencionei acima, mas tenho pouca noção de qual é realmente a probabilidade. Talvez tão baixo quanto$10^{-10^{10}}$?
Talvez seja valioso enfatizar novamente o que estou defendendo. Quando calculamos cenários físicos mais comuns, como um corpo deslizando por uma inclinação ou um pêndulo ou um átomo, etc., ignoramos corretamente quaisquer efeitos desprezíveis, como a atração gravitacional por planetas anos-luz de distância ou outras coisas semelhantes, e nos concentramos no principal contribuição. De forma semelhante, no caso presente, uma abordagem correta simplesmente reconhecerá como insignificante a contribuição para a probabilidade de todos os núcleos apenas acontecerem de decair no mesmo minuto, e se concentrará nas probabilidades muito maiores associadas a outras maneiras em que o resultado pode acontecer. Um cálculo que não faz isso está simplesmente errado. É como afirmar que um tempo é da ordem de 1 femtossegundo quando na verdade é da ordem de 1 petasegundo. Isso não seria considerado uma estimativa razoável, mas simplesmente errado, e por um fator embaraçosamente grande.
Se quisermos entender o que acontece nos processos do mundo real, em oposição aos modelos idealizados, então devemos pensar nos processos do mundo real.
Por fim, quero enfatizar novamente que os efeitos que mencionei são de fato extremamente pequenos. Mas em comparação com$10^{-10^{25}}$ eles são enormes.
@Nihar tem uma resposta excelente: é possível, mas com uma chance de 1 em $10^{1.94\times10^{25}}$
Esse é um número verdadeiramente grande. Quando você usa expoentes que precisam ser representados com seus próprios expoentes, às vezes pode ser difícil pensar sobre o que eles realmente significam. para alguma perspectiva:
- Há cerca de $5\times10^{19}$ átomos em um grão de areia
- Há cerca de $8\times10^{18}$ grãos de areia do mundo
- Isso é sobre $4\times10^{38}$ átomos em toda a areia do mundo
- Há cerca de $1.33\times10^{50}$ átomos de todos os tipos no mundo
- Há cerca de $10^{56}$ átomos no sistema solar
- Existem entre $10^{78}$ e $10^{82}$ átomos no universo
Usando a maior estimativa de $1\times10^{82}$átomos no universo, passamos apenas de um expoente de 19 para 82 comparando um grão de areia com o universo inteiro. Este expoente é 1.940.000.000.000.000.000.000.000.000.
Quantas provas teríamos que fazer para ter uma chance razoável de isso acontecer? A fórmula para descobrir as chances de um evento aleatório acontecer pelo menos uma vez é$1-(1-P)^y$ onde P é a probabilidade $1/{10^{1.94\times10^{25}}}$. Não consegui encontrar nenhum aplicativo que desse resultados sensatos, dados grandes valores para y, mas se y = P então as probabilidades se aproximam${-(1-e)}/e$conforme P fica grande. Isso é cerca de 63,2%. Então, se fizermos$10^{1.94\times10^{25}}$ testes, há cerca de 63,2% de chance de isso acontecer pelo menos uma vez e cerca de 37,8% de chance de não acontecer.
Então, como podemos imaginar fazendo $10^{1.94\times10^{25}}$ ensaios?
Se pegarmos todos os átomos do universo e transformá-los todos em pacotes separados de 1 kg de iodo-131, teremos cerca de $2.2\times10^{57}$deles. Espalhe-se sobre o volume do universo visível ($3.57\times10^{80} m^3$), é um pacote a cada $1.6\times10^{23}$metros cúbicos, é um cubo que tem 57.000 quilômetros de lado com um pacote de 1 kg de iodo-133 no centro. A idade do universo é estimada em 13,772 bilhões de anos, ou seja,$7.24\times10^{15}$minutos. Se pegássemos todos aqueles pacotes de iodo-133 e refizéssemos nosso experimento a cada minuto (convertendo os átomos decaídos de volta em iodo-131 para cada teste) desde o big bang até agora, isso é cerca$1.6\times10^{73}$ ensaios individuais.
Esse expoente de 73 não está nem perto do expoente de que precisamos para atingir 63,2% de chance de isso acontecer. Teria que haver cerca de$2.66\times10^{23}$ universos de átomos convertidos em iodo-131 repetindo o experimento a cada minuto por 13,777 bilhões de anos para ter uma chance de 63,2% de isso acontecer pelo menos uma vez.
Para entender isso, você precisa ver o que desencadeia uma decomposição nuclear. A resposta é um belo exemplo de comportamento da mecânica quântica. Nada o aciona. Acontece que o mundo é fundamentalmente mecânico quântico e probabilístico.
Todas as outras respostas que "não, não há evento desencadeador, simplesmente acontece, a mecânica quântica é assim" estão perfeitamente certas.
O que acontece antes que um elemento radioativo decaia?
Tudo que você pode fazer é calcular as probabilidades.
Portanto, a resposta à sua pergunta é: sim, há uma probabilidade diferente de zero de o material se decompor no minuto seguinte.
Mas sua pergunta é mais sobre se há uma chance de que todos os átomos no material se decomponham simultaneamente no próximo minuto. E a resposta é novamente sim, há uma probabilidade diferente de zero para que isso aconteça, mas acontece que a probabilidade é tão pequena que mesmo em escalas de tempo gigantes como a idade do nosso universo, há muito pouca probabilidade para nós para observar isso acontecer.