Uma criança vira 7 moedas justas. Encontre a probabilidade de que pelo menos duas caras ocorram, dado que pelo menos três coroas ocorram.

Question

Pergunta: Uma criança vira 7 moedas justas. Existem números inteiros positivos relativamente primos m e n, de modo que$\frac{m}{n}$é a probabilidade de ocorrerem pelo menos duas caras, dado que ocorrem pelo menos três coroas. Encontre (m + n).

Pela linguagem da pergunta, descobri que ela está perguntando a probabilidade condicional para os eventos:

1. Ocorrência de pelo menos 2 caras = evento A

1. Ocorrência de pelo menos 3 caudas = evento B ie. $$P(E)=\frac{P(A and B)}{P(B)}$$

Minha abordagem:

A fim de encontrar $P(B)$, Descobri a probabilidade de que nenhuma cauda ocorra ($\frac{1}{2^{7}}$), ocorre apenas uma cauda ($\frac{7}{2^{7}}$) e apenas duas caudas ocorrem ($\frac{\binom{7}{2}}{2^{7}}$), somando-os e subtraindo de 1 que obtive,$$P(B)=1-\frac{29}{2^{7}}$$ Agora para encontrar $P(AandB)$ Eu escolhi 5 lançamentos dentre os 7 disponíveis em $\binom{7}{5}$ formas e organize 3 caudas e 2 cabeças $\frac{5!}{2!3!}$ maneiras, agora não importa o que ocorre nos dois lugares restantes (como a condição inicial foi satisfeita), então sua probabilidade deve ser $$\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\frac{1}{2^{5}}$$ mas esse valor acaba sendo maior que 1, não consigo descobrir o erro em minhas suposições e cálculos, por favor, ajude.

Sei que essa pergunta foi respondida aqui , mas quero esclarecer onde errei ou julguei mal.

Answer 1

Sua ideia e computação para $\mathbb{P}(B)$estão corretas. Sua ideia para$\mathbb{P}(A \cap B)$está incorreto, pois importa quais são os outros dois valores em sua sequência. Como @ Fawkes4494d3 apenas apontou corretamente, você conta eventos várias vezes ao fazer isso dessa maneira. Para uma solução adequada, pense nos eventos em que você tem 2 ou mais caras e 3 ou mais coroas. Os únicos eventos que satisfazem esta combinação são 3,4 ou 5 caudas. Portanto, pense em como você pode calcular a probabilidade desses eventos.