Uma função expressa como uma série de Taylor diferenciável e/ou contínua no intervalo de convergência
Suponha que f(x) seja uma função infinitamente diferenciável em uma vizinhança de$0$, e que o raio de convergência de sua série de Taylor em torno de$0$,$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, é 8.
Isso significa que$f(x)$é contínua e/ou diferenciável em$(-8,8)?$e porque?
Respostas
Não, não tem. Por exemplo, posso tomar qualquer série de potências$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$com raio de convergência$8$, e então defina
$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$
A expansão de Taylor desta função em torno de$0$é apenas a série de potências dada, mas só concorda com a série de potências dentro do intervalo$(-1,1)$, embora a série de potências tenha maior raio de convergência. Mas se$f$realmente concorda com sua série de Taylor em$(-8,8)$, ou seja, é analítico, então sim, será diferenciável (mesmo com frequência infinita) em todo o intervalo. Mas a analiticidade é uma condição muito forte, então você nem sempre pode assumi-la.
Relação entre dado$f$A função e sua série de Taylor podem ser complicadas. É um exemplo famoso$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$que é infinitamente diferenciável com$f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$. a serie taylor$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$converge em todos$\mathbb{R}$, ou seja, seu raio de convergência é$R=\infty$mas coincide com a função apenas na origem. Agora podemos pegar alguma função$g$que igual$f$apenas na origem de alguma vizinhança, mas pode ser de qualquer tipo fora, por exemplo, não contínua.
Portanto, é útil ter condições necessárias e suficientes para determinado$\boldsymbol{f}$ função a ser representável por sua série de Taylor no intervalo de convergência$(-R,R)$, Onde$R$é o raio de convergência. Um é o seguinte:
Resto de Taylor na forma de Maclaurin$R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$em determinado intervalo tende a$0$, Onde$p>0$,$\xi$entre$x$e$a$.