Uma pergunta sobre cálculo de expectativa [duplicado]

Question

Deixar$X$e$Y$sejam duas variáveis ​​aleatórias.

Eu noto que um livro afirma$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$sem prova.

Eu acho que, para o caso mais simples, a prova pode ser a seguinte: -$E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.

Mas o que acontece se as probabilidades correspondentes para Y forem$q_i$e$p_i \ne q_i$no geral?

Answer 1

Obs : para simplificar vou escrever$f(x,y)$ao invés de$f_{XY}(x,y)$. A seguinte prova é no caso contínuo, mas uma prova semelhante é no caso discreto ou em geral

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

EDIT: caso discreto

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$