Use funções geradoras para resolver a relação de recorrência não homogênea
Deixei $a_0=0, a_1=2,$ e $a_2=5$. Use funções geradoras para resolver a equação de recorrência:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ para $n\geq0$.
Este é um problema de livro da Combinatória Aplicada. Estou realmente confuso sobre como lidar$2^n$ parte da relação de recorrência usando funções geradoras.
Editar:
Sei que preciso converter a recorrência em série e dividi-a, mas estou lutando para colocá-la em uma forma adequada para fazer frações parciais. Estas são as equações que consegui obter.
Se deixarmos $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ ser a função geradora para $a_n$ então, após os cálculos, obtive:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
Depois de simplificar: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
Então, a decomposição da fração parcial é: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
Tentei conectar os valores, mas algo não parece certo. Por favor, deixe-me saber onde eu poderia ter errado.
Respostas
Você cometeu um erro em algum lugar na derivação da função geradora (difícil dizer onde, já que você não incluiu esta parte), eu tenho
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} que resolve para \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Verifique sua solução, espero que você possa concluí-la aqui.