Use funções geradoras para resolver a relação de recorrência não homogênea

Aug 17 2020

Deixei $a_0=0, a_1=2,$ e $a_2=5$. Use funções geradoras para resolver a equação de recorrência:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ para $n\geq0$.

Este é um problema de livro da Combinatória Aplicada. Estou realmente confuso sobre como lidar$2^n$ parte da relação de recorrência usando funções geradoras.

Editar:

Sei que preciso converter a recorrência em série e dividi-a, mas estou lutando para colocá-la em uma forma adequada para fazer frações parciais. Estas são as equações que consegui obter.

Se deixarmos $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ ser a função geradora para $a_n$ então, após os cálculos, obtive:

$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$

Depois de simplificar: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$

Então, a decomposição da fração parcial é: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$

Tentei conectar os valores, mas algo não parece certo. Por favor, deixe-me saber onde eu poderia ter errado.

Respostas

3 Sil Aug 17 2020 at 18:53

Você cometeu um erro em algum lugar na derivação da função geradora (difícil dizer onde, já que você não incluiu esta parte), eu tenho

\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} que resolve para \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Verifique sua solução, espero que você possa concluí-la aqui.