Valor máximo de $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Dec 12 2020

Então me deparei com uma pergunta em meu livro:

No triângulo ABC, se $A$,$B$,$C$ representam os ângulos e, em seguida, encontre o valor máximo de $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Então eu já tentei e coloquei meu sangue, suor e lágrimas nesta questão ... Mas eu não estou conseguindo resolver mais adiante!

Então aqui está minha abordagem: usando $\sin(C)+\sin(D)$ e $A+B+C= \pi$;

  1. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Agora, usando $\cos(2A)$ fórmula ou seja, $1-2\sin^2(A) $
  2. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
  3. Então eu fiquei quadrático na variável $\sin(\frac{A+B}{4})$
  4. $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$

Mas não sei o que fazer depois disso

Posso resolver essa questão usando este método ou tenho que usar uma abordagem diferente!

BTW, a resposta é 3/2

Edit: Acabei de terminar meu ensino médio e me preparando para o exame de admissão IIT-JEE, então, por favor, não use termos difíceis para resolver esta questão.

Esta solução foi enviada pelo meu professor, pelo menos me faça entender esta [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]

Respostas

1 labbhattacharjee Dec 12 2020 at 01:19

Onde você parou, deixe $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$

$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$

Como $\sin x$ é real, o discriminante deve ser $\ge0$

$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$

$\implies8z\le4+8$

A igualdade ocorre se $\cos^2y=1\iff\sin y=0$

e consequentemente $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$

4 J.G. Dec 12 2020 at 00:16

Desde a $\sin x$é côncavo em agudo$x$, pela desigualdade de Jensen, o máximo é encontrado em$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, Como $3\sin\pi/6=3/2$.

Edit: já que o OP mencionou em um comentário sobre a resposta de @B.Goddard de que eles conhecem a diferenciação, aqui está outra prova de que o caso equilátero atinge o máximo:

Continue usando $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Para extemiar$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ resolver simultaneamente$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$viz. $A=B=C$. Vou deixar o leitor verificar se é um máximo, considerando as derivadas secundárias.

1 B.Goddard Dec 12 2020 at 00:23

Você pode fazer isso com multiplicadores de Lagrange. Maximizar$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ sob a restrição $g=x+y+z = \pi$.

Então

$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$

Isto mostra que $x=y=z$ e o triângulo máximo é equilátero.

ZAhmed Dec 12 2020 at 00:34

Em um triângulo ABC, $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ Então, pela desigualdade de Jemsen $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$