Verificação de uma solução para um problema de lógica matemática

Aug 17 2020

A questão é a seguinte:

Um detetive entrevistou quatro testemunhas de um crime. O detetive concluiu o seguinte com base em como essas entrevistas foram:

  1. Se o mordomo está falando a verdade, o cozinheiro também está.
  2. O cozinheiro e o jardineiro não podem estar dizendo a verdade.
  3. O jardineiro e o faz-tudo não estão mentindo.
  4. Se o faz-tudo está falando a verdade, o cozinheiro deve estar mentindo.

A questão é: o detetive consegue descobrir se cada um dos indivíduos está mentindo ou não? Explique o raciocínio.


Responda:

Estamos aqui apenas considerando se alguém é verdadeiro ou não. Portanto, podemos apenas pegar uma variável, either True or Falseem qualquer um dos casos possíveis, e voltar a partir daí. cooké uma dessas variáveis ​​[Verdadeiro significa que uma pessoa específica está dizendo a verdade, e Falso significa exatamente o oposto].

Se considerarmos cookverdadeiro, handymandeve ser falso (Declaração nº 4). De acordo com a afirmação # 3, gardenere handymannão pode ser falso ao mesmo tempo, como já sabemos que handymané falso (isto é, mentindo), gardenertem que ser verdadeiro.

Se gardenerfor verdadeiro, de acordo com a declaração nº 2, cookdeve ser falso. Isso contradiz nossa primeira suposição, que cooké Verdade, ou seja, dizer a verdade. O que nos leva a cookser falso.

Não podemos simplesmente dizer que cooké falso e que o caso está resolvido. Isso porque se cookfor False, então handymané True. Mas isso ramifica a declaração nº 3 em duas rotas diferentes.

gardenere handymannão são ambos falsos, o que significa que qualquer um deles é verdadeiro ou ambos são. Como handymané verdadeiro, vamos primeiro considerar que gardeneré falso. Agora estamos novamente na mesma situação em que qualquer um deles é False ou ambos são. Se cookfor verdadeiro, estaremos contradizendo nossa suposição inicial, portanto, cooknão pode ser verdadeiro. O que nos leva a cookser Falso ». Isso nos dá o primeiro conjunto de suposições logicamente corretas. Vamos anotar isso.

cook = False
handyman = True
gardener = False
butler = False

Agora estaremos considerando gardenerser Verdadeiro. Se gardenerfor verdadeiro, cookdeve ser falso. Agora temos outro conjunto de soluções

cook = False
handyman = True
gardener = True
butler = False

Comparando as duas soluções logicamente corretas, podemos facilmente chegar à suposição de que o detetive não pode determinar se cada indivíduo está mentindo ou não, pois há mais de um caso possível.


O método é muito tedioso? Existe algum outro método para conseguir o mesmo? Tudo é autodidata, então o uso de terminologias diferentes são estranhas para mim agora, se alguém puder me apontar a direção certa, eu ficaria grato.

Respostas

4 WilliamElliot Aug 17 2020 at 11:20

Premissa.
b implica c
not-c ou not-
g ou h
h implica not-c

Assuma não-g. Assim,
h; not-c: not-b.

Assune g. Assim,
não-c: não-b.

Conclusão.
O cozinheiro e o mordomo estão mentindo.
O cozinheiro ou o faz-tudo estão dizendo a verdade.
Não pode ser determinado se algum deles está mentindo.

2 PatrickStevens Aug 17 2020 at 15:56

Para obter a mesma resposta de uma maneira diferente:

Se você apenas começar no topo e trabalhar para a frente, Butler-true implica Cook-true (por 1) implica Gardener-false (por 2) implica Handyman-true (por 3) implica Cook-false (por 4), contradição. Então o mordomo está mentindo; além disso, a contradição surgiu puramente de uma implicação ("Cook-true") de Butler-true, então de fato o cozinheiro também está mentindo.

Então, as condições 1, 2 e 4 tornam-se vazias e a condição 3 é a única restrição restante.

StinkingBishop Aug 17 2020 at 18:03

A questão é: o detetive consegue descobrir se cada um dos indivíduos está mentindo ou não? Explique o raciocínio

Se a única pergunta que você tem que responder aqui é a acima, então, dependendo de qual é a resposta (verdadeira ou falsa), você escreveria uma prova diferente.

  • Se a resposta for " verdadeira : o detetive pode decidir quem está mentindo", então você precisa provar que as condições do problema implicam uma solução particular. (Isso é basicamente o que você tem feito em sua pergunta.)

  • No entanto, se a resposta for " falsa : o detetive não consegue decidir quem está mentindo", então tudo o que você precisa escrever são pelo menos duas listas diferentes de quem está mentindo , ambas consistentes com as condições do problema.

Como a resposta aqui é falsa , tudo o que você precisa escrever como prova seria:

O detetive não consegue decidir quem está mentindo, porque as pessoas mentindo podem ser (mordomo, cozinheiro) ou (mordomo, cozinheiro, jardineiro) ou (mordomo, cozinheiro, faz-tudo). Todas essas três possibilidades são consistentes com as condições do problema.

Claro, é muito instrutivo e educativo escrever como você chegou a essas três possibilidades. No entanto, omitir essa parte não torna a sua prova menos válida (embora, indiscutivelmente, a torne muito mais feia!). Além disso, dependendo se se trata de um problema de concurso (ou exame) - tal solução pode não ser aceita como uma solução completa, pois o "raciocínio" nela não seria totalmente explicado. Matematicamente, porém, seria uma resposta correta.