Цель этой статьи: определение и вычисление этого значения в числовом виде. Появления константы в математике.

Предполагаемые знания: Интеграция (Исчисление), Концепция конвергенции.

Определение

Известная также как постоянная Эйлера (не путать с e = 2,718281828459045…), постоянная Эйлера-Маскерони , которая обозначается строчной гаммой (γ), определяется как

«Предел при n → ∞ разницы между гармоническим рядом и натуральным логарифмом n ».

Или же,

Эта константа со значением приблизительно γ = 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992… действительно существует. Но до сих пор неизвестно, является ли константа трансцендентной или алгебраической. На самом деле неизвестно даже, является ли γ рациональным или иррациональным.

Если эта константа рациональна, знаменатель должен быть больше 10²⁴²⁰⁸⁰.

Расчет значения γ

Подставим различные значения n в определенное выше уравнение для γ,

Здесь мы видим, что по мере увеличения n и его увеличения, или по мере его стремления к бесконечности значение приближается к изначально определенному значению этой константы. Это число и есть постоянная Эйлера-Маскерони .

Графическое представление γ

Оранжевая область под кривой y = 1/ x представляет собой натуральную логарифмическую функцию. Это связано с тем, что интеграция или площадь под графиком y = 1/x равна ln x .

Зеленая область столбцов является графическим представлением гармонического ряда.

Разница между этими двумя областями, заштрихованными синими точками (ниже), представляет постоянную Эйлера — Маскерони,

Доказательство сходимости

Мы знаем, что при стремлении n к бесконечности функция, определяющая постоянную Эйлера — Маскерони , сходится к некоторому постоянному значению. Но как доказать эту сходимость без грубой силы?

Итак, мы знаем, что,

Где,

Давайте принимать,

что дает константу, когда n стремится к бесконечности.

Чтобы доказать сходимость, мы будем

1. Докажите, что последовательность убывает , и тогда
2. Докажите, что оно ограничено .

Теперь, выражая ln⁡(1 +x ) с помощью ряда Тейлора ,

Принимая x = -1/ n ,

Используя (3) в (2),

Таким образом,

Следовательно, последовательность монотонно строго убывает .

II. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОГРАНИЧЕНА

а) Верхняя граница последовательности

Поскольку теперь мы знаем, что последовательность строго убывает, первый член последовательности будет самым большим членом.

Итак, первый термин,

Следовательно, верхняя граница равна 1 .

а) Нижняя граница последовательности

Мы знаем это,

Это можно записать как,

В настоящее время,

Мы можем определить e^x как

Если мы опустим случай, когда x = 0,

Так,

Взяв натуральное бревно с обеих сторон,

Из (5),

Суммируя обе стороны,

Из (4),

Добавляя H_n к обеим частям уравнения,

Или же,

Следовательно, нижняя граница равна 0.

Таким образом, G_n — монотонно строго убывающая последовательность с границами,

Следовательно, последовательность сходится к пределу γ , такому что 0 < γ < 1.

Предел последовательности G_n при n → ∞ есть постоянная Эйлера — Маскерони .