Теорема Грина, названная в честь британского математика Джорджа Грина, является квинтэссенцией теоремы исчисления, раздела математики, который занимается строгим изучением непрерывных изменений и функций. Эта статья исследует исчисление над трехмерным евклидовым пространством R³ и направлена ​​на преодоление разрыва между школьной и университетской математикой.

Первая теорема изучения векторного исчисления сводит интеграл площадей к линейному интегралу. Он связывает линейный интеграл вокруг простой замкнутой кривой C с двойным интегралом по плоской области D, ограниченной C.

Интуиция

Чтобы понять это простыми словами, представьте себе поток жидкости в двумерной плоскости. Представьте, что жидкость течет внутри области, и ее течение описывается векторным полем. Кривую, ограничивающую эту область, можно рассматривать как барьер, и нас интересует чистая циркуляция жидкости вокруг этого барьера.

Интуиция здесь такова, что чистая циркуляция вокруг замкнутой кривой определяется «вращательным поведением» (завихрением) векторного поля в области, которую он охватывает. Если ротор положительный, это означает, что поле закручивается в том же направлении, что и ориентация кривой (против часовой стрелки), что способствует циркуляции. Если завиток отрицательный, он противодействует ориентации кривой, уменьшая циркуляцию.

Площадь эллипса

Применение теоремы Грина в вычислительных областях. Ниже приведена площадь области D.

Наша цель — выбрать произвольные функции P и Q так, чтобы выполнялось следующее.

Есть несколько полезных возможностей.

Как мы видим, все эти разные выражения дают одну и ту же площадь.

Чтобы вычислить площадь с помощью теоремы Грина, мы выберем первый вариант.

C обозначает кривую уравнения эллипса. Мы параметризуем его следующим образом.

Кривая колеблется от 0 до 2pi, интеграл теперь

Затем мы можем заменить x = acost(t), а также производную от y по t.

В качестве упражнения попробуйте вычислить интеграл, и ответ должен получиться в виде

Спасибо за чтение. Не забудьте аплодировать статье, если она покажется вам полезной.