ฉันไม่เข้าใจวิธีแก้ปัญหาของตัวเอง $\log_5(3x-1)<1$ และ $\log(6/x)>\log(x+5)$
ที่นี่ฉันมีสองตัวอย่างของอสมการลอการิทึม แม้จะสามารถแก้ไขได้ แต่ฉันก็ไม่สามารถเข้าใจกระบวนการของตัวเองได้ทั้งหมด
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
แต่วิธีแก้ปัญหาไม่ได้ $x\in(-\infty, 2)$
ตอนนี้กำลังพิจารณาค่าสำหรับ $x$ ที่ไหน $\log_5(3x-1)$ ถูกกำหนด: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
ทางแก้คือจุดตัด $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
อีกครั้งฉันแก้ไข
$\frac{6}{x}> x+5$ และ $x+5>0$, เช่น $x>-5$ เป็นช่วงของค่าที่กำหนดสำหรับลอการิทึม $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
จากนั้นฉันก็ทำโต๊ะและได้รับ $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
ทางออกสำหรับปัญหานี้คือ $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
จุดมุ่งหมายของคำถามนี้คือ:
- เข้าใจวิธีแก้อสมการให้ดีขึ้นเข้าใจโดยสัญชาตญาณมากขึ้น
- เข้าใจวิธีการทำงานของอสมการเข้าใจโดยสัญชาตญาณมากขึ้นเช่นกัน
- ทำไมคำตอบคือ "วิธีแก้ปัญหา" ตัดกับค่าที่กำหนด
ขออภัยหากคำถามนั้นดูธรรมดาเกินไป แต่ยินดีรับข้อเสนอแนะ
คำตอบ
ดูเหมือนคุณจะมีความคิดบางอย่างอยู่
นี่คือคำจำกัดความพื้นฐานของเรา $\log_b x = y \implies x = b^y$
ถ้า $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
มีคุณสมบัติพื้นฐานบางประการของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน "เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ" นั่นคือ$\log x > \log y \iff x > y$
ฟังก์ชั่นคือ "ฉีด": $\log x = \log y \iff x = y$
และโดเมนของ $\log x = (0,\infty).$ ถ้า $x<0$ ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้
คุณไม่จำเป็นต้องรู้คำศัพท์เหล่านี้ คุณจำเป็นต้องเข้าใจความหมายที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันลอการิทึม
เพื่อแก้ปัญหาในมือ
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$จากสองกฎแรก และ$3x-1 > 0$ จากกฎสุดท้าย
ฉันคิดว่าเป็นความคิดที่ดีที่จะแสดงรายการข้อ จำกัด ทั้งหมดนี้ไว้ข้างหน้า
เราอาจเขียนว่า: $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
สำหรับปัญหาที่สอง:
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
โชคดีที่ $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ เราจึงสามารถทิ้งข้อ จำกัด สุดท้ายได้
ข้อห้าม $x>0$ ให้บริการแก่เราซึ่งเราสามารถคูณด้วย $x$โดยไม่ต้องกังวลกับการพลิกป้ายเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกัน ถ้ามีความเป็นไปได้ที่ x เป็นลบเราจะทำเช่นนั้นไม่ได้
$0 > x^2 + 5x - 6$ และ $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ และ $x>0$
อสมการแรกมีทางแก้ $(-6,1)$ และครั้งที่สอง $(0,\infty)$
$(0,1)$ จะเป็นช่วงเวลาที่ทั้งสองค้างไว้
ดูเหมือนคุณจะแก้อสมการเหล่านี้ได้ดี อาจจะดีกว่าตามที่แนะนำไว้ในความคิดเห็นให้ระบุข้อ จำกัดก่อนแล้วจึงดำเนินการจากที่นั่น
ในคำถามแรกเช่นคุณจะได้รับคำตอบก่อน ($x<2$) จากนั้นใช้ข้อ จำกัด จากที่นั่น ฉันคิดว่านี่คือสิ่งที่อาจทำให้คุณสับสนกับกระบวนการของคุณ
เมื่อคุณได้รับลอการิทึม $\log_5(3x-1)$อันดับแรกคุณควรหาค่าของ $x$ น่าพอใจ $3x-1>0$เพื่อให้แน่ใจว่าคุณจะไม่ทำให้จำนวนลบปรากฏในลอการิทึมของคุณโดยไม่ได้ตั้งใจ เมื่อคุณได้รับ$x>\frac{1}{3}$, จากนั้นคุณสามารถเริ่มต้นมองหาวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่ เมื่อคุณได้รับ$x<2$มันจะง่ายสำหรับคุณที่จะใช้ข้อ จำกัด โดยไม่ต้องคิดเกี่ยวกับมัน
สิ่งเดียวกันไปสำหรับอันที่สอง แต่คุณไม่ได้พิจารณาลอการิทึมทางด้านซ้ายเช่นกันเมื่อกำหนดข้อ จำกัด (เช่นคุณได้รับ$x>-5$ แต่คุณไม่ได้รับ $x>0$ซึ่งทำให้คุณเข้าใกล้คำตอบมากขึ้น) ฉันคิดว่านี่จะช่วยให้คุณประหยัดเวลาได้บ้าง
หวังว่านี่จะช่วยคุณได้