$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, วิธีคุณลักษณะของสมการการไหลของการจราจรด้วยข้อมูลเริ่มต้นของ riemann
เราพิจารณาสมการไม่อนุรักษ์ $$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$ ที่ไหน $a$ เป็นค่าคงที่และ $f(u)=u(1-u)$.
ฉันกำลังพยายามแก้สมการนี้โดยวิธีการแสดงลักษณะที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น $$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$ ตามลักษณะฉันมี $\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$ซึ่งหมายความว่าสมการลักษณะคือ $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$ พร้อมด้วย $\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
การแก้สมการเหล่านี้ฉันไปถึงไม่เกิน $u(x,t)=ax+ g(t)$ ที่ไหน $g$ เป็นฟังก์ชันบางอย่างของ $t$คนเดียว. ฉันไม่รู้ว่าจะดำเนินการต่อไปอย่างไร
ฉันสามารถแก้ปัญหานี้ได้เมื่อเรามีสมการ $$u_t+(f(u))_x=0$$ ตามที่นั่น $u$มีค่าคงที่ตามแนวของคุณลักษณะ ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือ
คำตอบ
สังเกตว่าข้อมูลเริ่มต้น $u(x,0)$ ประกอบด้วยความไม่ต่อเนื่องของการกระโดดจาก $u_l$ ถึง $u_r$ดังนั้นปัญหาที่เกิดขึ้นครั้งแรกที่มีมูลค่านี้เป็นปัญหา Riemann รูปแบบการรับส่งข้อมูล Lighthill-Witham-Richards (LWR) ที่เป็นที่นิยมจะได้รับการกู้คืนเมื่อ$a=0$และโซลูชัน Riemann ที่เกี่ยวข้องได้อธิบายไว้ในโพสต์นี้ ให้เราจัดการกรณีตามอำเภอใจ$a$เช่นทำตามวิธีการที่คล้ายกันในโพสต์นี้ การตั้งค่า$v = 1 - 2u$ ให้ PDE $$ v_t + vv_x = -2av $$ ซึ่งวิธีการแสดงคุณสมบัติ $v = c_1e^{-2at}$, $\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$ และ $$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$ซึ่งเทียบเท่ากับโซลูชันที่พบในคำตอบของ @Dmoreno อย่างไรก็ตามสำหรับข้อมูลเริ่มต้นที่ไม่ต่อเนื่องวิธีการแสดงคุณสมบัติไม่เพียงพอ (ใช้ได้เฉพาะเมื่อ$u$เรียบ) ดังนั้นเราจึงใช้วิธีการที่เหมาะสมในการแก้ปัญหานี้ในความรู้สึกอ่อนแอดูโพสต์ที่เกี่ยวข้อง ที่นี่เราพบโซลูชันคลื่นกระแทก$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$ ถ้า $v_l > v_r$และสารละลายคลื่นปฏิกิริยาที่หายาก $$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$ ถ้า $v_l < v_r$. สามารถตรวจสอบว่าโซลูชันเดียวกัน$u = \frac{1-v}2$ ได้มาจากการแก้ไขปัญหา PDE เริ่มต้นโดยตรง (โดยไม่ต้องเปลี่ยนตัวแปร)
จาก $\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$ คุณได้รับ $u - ax = c_1$และจาก $a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$ คุณได้รับ $u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. ปล่อย$c_2 = f(c_1)$ เพื่อหาวิธีแก้ปัญหาโดยปริยายสำหรับ $u$กำหนดโดยสมการ
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
งานในมือตอนนี้คือการกำหนด $f$ จากเงื่อนไขเริ่มต้นและในที่สุดก็แก้ปัญหาสำหรับ $u$. คุณสามารถนำไปจากที่นี่ได้หรือไม่?