2 değişkenli bir integral hesaplama - entegrasyon sırasını değiştirme
Bu integrali hesaplamalıyım:
$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$
Çünkü nasıl hesaplayacağımızı öğrenmedik $\int e^{a}{x} dx$ (çünkü gama işlevi olan bir şeye sahip olduğu için) bana yalnızca bir seçeneği düşündürüyor ve $dx \Leftrightarrow dy$
$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$
ve böylece $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$
Bu da beni yine bu gama fonksiyonuna götürüyor .. ($\Gamma$...) ve onunla nasıl çalışacağımızı bilmiyoruz (müfredatımızda değil)
Herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır! Teşekkürler!
Yanıtlar
Entegrasyon sırasını değiştirmekte haklıydınız.
Entegrasyon bölgesinin, $\sqrt y\le x\le 1$ ile $y\in [0,1]$. Bu bölge ile aynı bölge$0\le y\le x^2$ ile $x\in [0,1]$. Dolayısıyla bizde
$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$
Ve şimdi bunu tamamlayabilirsiniz.