2. dereceden bir grubun "elle" ayrıştırılamaz integral gösterimleri
Bu soru, 2010 MO sorusunun bir kopyasıdır .
İzomorfizm sınıflarını sınıflandırmakla ilgileniyorum $n$döngüsel grubun boyutlu integral gösterimleri $C_2$ düzenin $2$. Açıkça, herhangi bir integral gösterimi$C_2$ayrıştırılamaz integral temsillerin doğrudan toplamıdır .
Aşağıdaki sonuç iyi bilinmektedir:
Teorem. Grup$C_2$ ayrıştırılamaz integral gösterimlerin tam olarak 3 izomorfizm sınıfına sahiptir:
(1) önemsiz;
(2) işaret temsili;
(3) matris ile 2 boyutlu gösterim $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$
Bu sonuç Victor Protsak'ın cevabında belirtildi . Ayrıca Todd Leason'un cevabına da bakınız .
Gelen onun comment Victor Protsak bir başvuru verir. Şöyle yazıyor: "Curtis ve Reiner, Bölüm 11. Bu, Bölüm 74'teki asal sıradaki döngüsel grupların integral temsillerini sınıflandıran özel bir teoremin durumu. Doğal olarak, bu durum çok daha kolaydır ve elle yapılabilir."
Soru. Curtis ve Reiner'in kitabına atıfta bulunmadan yukarıdaki teoremi "elle" nasıl kanıtlayabilirim?
Motivasyon: Şimdi cebirsel ile çalışıyorum$\mathbb R$-tori. Galois grubunun ayrılmaz temsillerine göre sınıflandırılırlar${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, bir düzen grubu olan $2$. Bileşimsizin iyi bilinen sınıflandırmasını anlamak için$\mathbb R$-tori, ayrılmaz integral temsillerinin iyi bilinen sınıflandırmasını anlamam gerekiyor ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.
Bu görünüşte basit soruyu Mathematics StackExchange'de sordum , ancak hiçbir cevabı veya yorum alamadım , bu yüzden burada soruyorum.
Yanıtlar
In gerçek Tori ile Bilgisayar , Casselman açık bir integral gösterimi verilmiştir varsayarak, güzel yazma-up sadece bu sadece ayrıştırılamaz tori olduğunu kanıtlayan değil bakış açısından bu teoremin vardır, ama$\operatorname C_2$, açıkça bu üç gösterime ayrışmasını buluyor / hesaplıyor.
Aslında, siz (genel okuyucusunuz, @MikhailBorovoi değil) Bill Casselman'ın son çalışmalarına aşina değilseniz, sayfasını incelemeye değer http://www.math.ubc.ca/~cass; bir süredir cebirsel gruplarla ilgili olarak bir bilgisayara beslenebilen şeyler anlamında gerçek hesaplamalar yapmakla çok ilgileniyor. Yukarıdakiler bir örnektir; diğerleri şurada bulunabilirhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.htmlDahil, örneğin, yapı sabitleri hesaplanması Jacques Göğüsler göre tüm bilmek bizim birlikte -İşler olabilir yapılabilir ama bize çoğu (en azından ben!) Aslında çekineceklerdir yapıyor , burada bir şekilde dışarı serilir olduğunu nasıl gösterir pratik olarak yürütmek için.
( Matematiksel grafiklerde de güzel şeyler var !)