21. mertebeden metasiklik grubun gerçekleştirilmesi
Etik olmayan düzen gruplarını anlamak istiyorum $pq$ (ile $q | p-1$) daha iyi. İçin$q=2$ bu benim rahat ettiğim dihedral grup.
Her biri için $pq$Bu gruplardan tam olarak biri olduğunu biliyorum. Yarı yönlü bir üründür. Sylow yapısı$n_q = p$ ve $n_p = 1$. Onlar hakkında pek bir şey bilmiyorum.
Aşağıdaki ilginç grup siparişlerini hesapladım 21, 39, 55, 57, 93. Ve yaklaşık 21 soracağım.
Sıra 21'in abeliyen olmayan grup simetrisi nedir?
Bunu araştırıyorum ve iyi bir cevap bulamadım. Bunun bir polihedranın dönüşlerinin simetrisi veya herhangi bir bükülen bulmacanın olmadığını düşünüyorum. Fan uçağının her bir çizgide 7 çizgisi ve 3 noktası olduğunu gördüm ama kullanılabilir mi bilmiyorum. Bu gruplar bir tür tasarım koduna göre doğal olarak mı hareket ediyor? Yoksa onları daha derinlemesine anlamanın daha iyi bir yolu var mı? Teşekkürler!
Yanıtlar
Her alanda $F$ bir grup afin dönüşüm var
$$x \mapsto ax + b, a \in F^{\times}, b \in F$$
afin çizgide hareket etmek $\mathbb{A}^1(F)$ (bir set olarak sadece $F$). Eşdeğer olarak bu bir grup$2 \times 2$ matrisler
$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right].$$
Sonlu bir alan üzerinde $F = \mathbb{F}_q$ Nonabelian bir aile elde ederiz ( $q = 2$) düzen grupları $q(q - 1)$ yarı doğrudan ürünler olan $\mathbb{F}_q^{\times}$ açık $\mathbb{F}_q$çarpma ile. Ayrıca bu grubun alt gruplarını da kısıtlayarak düşünebiliriz$a$ alt grubuna $F^{\times}$. İlgilendiğiniz tüm gruplar bu şekilde inşa edilebilir.
İlgilendiğiniz belirli grup ne zaman ortaya çıkar? $q = 7$ ve $a$ alt grupta yatmakla sınırlıdır $(\mathbb{F}_7^{\times})^2$ kare elemanlarının sayısı $\mathbb{F}_7^{\times}$. Bu bir Frobenius grubu ve bu sayfaya göre Fano düzleminde de hareket ediyor.