A matrisi PA = LU'ya ayrıştırılırken L matrisindeki satırlar nasıl değiştirilir?

Question

Permütasyon matrisini bulun $P$alt üçgen matris $L$ ve üst üçgen matris $U$ öyle ki $$ PA=LU $$ Verilen $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 \\ 3 & 7 & 11 & 16 & 21 & 27 \\ -4 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$

Buraya kadar geldim

$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ ve $$ L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Yapmam gereken son adım, dördüncü satırı üçüncü satırla değiştirmek, ancak alt üçgen L matrisindeki girişleri nasıl değiştireceğimi tam olarak bilmiyorum. Herhangi biri L'de tam olarak neye geçmem gerektiğini açıklayabilir mi?

Answer 1

Uzun cevap: İleri eliminasyonun sonucunu formun bir matris denklemi olarak düşünün$U=E_r P_r E_{r-1} P_{r-1} \dots E_1 P_1 A$ nerede $E_i$ "eleme" matrisleridir (aşağıdaki sütunu temizleyerek $i$her zamanki gibi pivot) ve $P_i$ her iki permütasyon matrisidir. $i$inci pivot $i$satır veya başka bir kimlik (bu adımda bir değişim yapmadıysanız). Eliminasyon matrisleri daha düşük üçgendir ve birlikte çarpıldığında bu şekilde kalır. Ancak permütasyon matrisleri dahil edildiğinde, daha düşük üçgen olmayı bırakırlar.

Yani şimdi genel olarak şu ürününü ters çevirmek istiyorsunuz: $E_i P_i$ izole etmek $A$. Hepsini bir arada tutarsanız, tersi daha düşük üçgen olmayacak ve$PA=LU$olmasını istiyorsun. Yani bunun yerine yaptığınız şey ürünü yeniden yazmak$E_r P_r \dots E_1 P_1$, böylece tüm permütasyon matrisleri sağda ve tüm eliminasyon matrisleri solda olacak. Bunu yapmak için, nasıl yazılacağını bulmak yeterli$PE$ gibi $E' P'$.

Bu ile yapılabilir $P'=P$ ve $E'=P E P^{-1} = P E P^T$kontrol etmesi kolay olduğu gibi: $E' P'=P E P^{-1} P=PE$. Bu$E'$ Bu formu almak cebirdeki yaygın bir durumun bir örneğidir, burada eşlenik halihazırda uygulanmış başka bir tersinir işlemin "bağlamında" bir işlemi uygulamak için kullanılır.

Bunu tekrar tekrar yaparak, tüm permütasyon matrislerini sağa doğru hareket ettirebilirsiniz. Sonuç şuna benzer:

$$U=E_r (P_r E_{r-1}^T P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T) \\ \cdot P_r \cdot \dots \cdot P_1 \cdot A.$$

Peki şimdi

$$L^{-1}=E_r (P_r E_{r-1} P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T)$$

Özetle bu ne anlama geliyor? Doğru olanı elde etmek anlamına gelir$L^{-1}$, "hesaplanan" sayfanızdaki önemsiz girişleri taşımanız gerekir. $L^{-1}$" bu girişler hesaplandıktan sonra yaptığınız tüm satır değişimlerini temel alır . Ters çevirme$L^{-1}$ sonunda yine aynı şekilde çalışır (sadece önemsiz girişlerdeki işareti çevirirsiniz).

Dolayısıyla, örneğinizde satırları değiştirmenin etkisi $3$ ve $4$ güncellediğin mi $L$ endekslerin rollerini değiştirerek $3$ ve $4$, sonuçlanan:

$$L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Bunun yalnızca satır değiş tokuşu ile aynı olmadığını unutmayın$3$ sıra ile $4$.

Bundan sonra bu özel örnekte, bitirdiniz ama olmasaydı, o zaman olur değil değişimi$3$ ile $4$ sonraki adımlarda.

Kısa cevap: Son matrisiniz$P$yaptığınız tüm satır değişimlerine ulaşır. Almak$L$, solda bir permütasyon matrisi ile çarpılarak elde edilecek bir satır değişimi yaptığınız her seferde $P$sen şimdiki halini değiştir $L$ ile $P L P^T$Bu, bu permütasyonu mevcut sayfanızın hem satırlarında hem de sütunlarında gerçekleştirdiğiniz anlamına gelir. $L$ (ama finalde değil $L$).

Answer 2

Satır azaltmayı kullanarak,

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

@ Ian (+1) tarafından mükemmel bir şekilde yazılmasına alternatif bir yaklaşım olarak, takas dahil olmak üzere satır azaltma adımlarını tersine çevirebilirdiniz. $$A = E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}U$$

Bu sonuçlanır

$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 &0 & 1 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Bunu görüyoruz $L$ daha düşük üçgen değildir ve sadece üçüncü ve dördüncü satırı değiştirmemiz gerekir.

$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\3 & 1 &0 & 1\end{pmatrix}$$

Bu değişim bir permütasyon matrisi gerektirir

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0\end{pmatrix}$$

Şimdi doğrulayabiliriz

$$PA = LU$$

Bunu da doğrulayabilirsiniz $$A = PLU = P^T LU = P^{-1} LU$$

Örneğin, LU çarpanlarına ayırma kare olmayan matriste nasıl kullanılabilir?