Alt-gausslular için Normun Konsantrasyonu
Vershynin'in HDP kitabındaki Teorem 3.1.1'i okuyorum. Teorem şunu belirtir:
$ \text{Let } X=\left(X_1,\ldots,X_n \right) \text{be a random vector with independent, sub-gaussian coordinates } X_i \text{ that satisfy } \mathbb{E}X_i^2=1. \text{Then}$ $$ \| \| X\|_2-\sqrt{n}\|\|_{\psi_2} \leq CK^2$$ $ \text{where } K=\max_i{\|X_i\|_{\psi_2}} \text{ and } C \text{ is an absolute constant.}$
$\psi_2$ norm, Orlicz fonksiyonlu Orlicz normudur $\psi(x)=e^{x^2}-1. $
İspatta anlamadığım bir yer buldum.
Bütün kanıt sadece bunu gösterdi $ \| X \|_2 -\sqrt{n} $bir alt gauss rastgele değişkendir. Ve son cümlede, yazar az önce teoremin sonucuna eşdeğer olduğunu söyledi.
Son cümlede denkliği sormak istiyorum.
Sub-gauss'un merkezleme özelliğine bakmaya çalıştım ama öyle görünüyor ki $\sqrt n \neq \mathbb{E}\|X\|_2 $. Herhangi bir ipucu veya fikir takdir edilmektedir.
Yanıtlar
Bu kitabın dayandığı HDP kursunu aldım ve bu sonuçların beni de biraz zaman aldığını düşünüyorum! Yapmanız gereken biraz "döngüsel duygu" mantığı var ki bu (en azından benim için) hemen açık değil. Kısacası, oyunda iki şey var:
- Birincisi, kanıttan konsantrasyon eşitsizliğine sahibiz $$\mathbb{P}\left\{ \big| ||X||_2 - \sqrt{n} \big|\geq t\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{K^4}\right) \\ = 2 \exp\left(-\frac{ct^2}{(K^2)^2}\right)$$ hangisi herkes için geçerli $t \geq 0$. Bahsettiğiniz gibi, bu, mutlak değer teriminin, paramter ile alt Gauss olduğunu gösterir.$K^2$. Önerme 2.5.2'den, bir eşdeğer olduğunu biliyoruz (sabit bir faktöre kadar)$K_1=c_1K^2$ öyle ki $\mathbb{E}\exp\left(X^2/K_1^2\right) \leq 2$.
- Orlicz normunun tanımından, $$\big|\big| ||X||_2 - \sqrt{n}\big|\big|_{\psi_2} $$normu minimum veya minimum pozitif olarak belirten$t$ ile $\mathbb{E}\exp\left(X^2/t^2\right) \leq 2$. Bundan, normun şu değerden fazla olmaması gerektiği sonucuna vardık:$K_1$. Biz akraba$K_1$ -e $K^2$ yukarıda ve sonuç aşağıda.