Alternatif varyans formülünün anlaşılmasına yardımcı olun

Question

Rahat olduğum varyansın tanımı

$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$

Ama buna benzer bir tane gördüm ve nasıl eşdeğer olduklarını görmeye çalışıyorum.

$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ kaynak

Answer 1

Listelediğiniz ilk öğe kovaryansıdır $x_i$ ve $y_i$. Listelediğiniz ikinci formül şunun varyansıdır$x+y$ (yani $Var(x+y)$).

Bunu görmek için yazabileceğimize dikkat edin $Cov(X,Y)$ gibi:

\ begin {eqnarray *} {Cov (X, Y)} & = & E (XY) -E (X) (EY) \\ & = & \ sum x_ {i} y_ {i} p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) - \ toplam x_ {i} p (x_ {i}, y_ {i}) \ toplam y_ {i} p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) \ \ & = & p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) \ left (\ toplam x_ {i} y_ {i} - \ toplam x_ {i} \ toplam y_ {i} \ sağ) \\ & = & \ sum (x_ {i} - \ bar {x}) (y_ {i} - \ bar {y}) p_ {XY} (x_ {i} y_ {i}) \ end {eqnarray *}

Listelediğiniz ikinci formül , Varyans Bölümü altında köprü oluşturduğunuz kaynakta türetilmiştir .

İki formül eşdeğer değildir.