Altında olan kısıtlamalar $\rho(x, y) = |x - y|^d$ üçgen eşitsizliğini karşılar

Question

Tamamen cebirsel yollarla (doğrudan karşı örneklere başvurmadan) kanıtlamak mümkün mü? $\rho(x, y) = |x - y|^d$ üçgen eşitsizliğini karşılamıyor $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ için $d = 2$? Ve hangi kısıtlamalar altında$x, y, z$eşitsizliği tatmin ediyor mu? Nedenini görmeye çalışıyorum$\rho$ geçerli bir metrik olamaz $\mathbb R$.

Bonus soru: Başka hangi değerler için $d \in \mathbb R$ yapar $\rho$ üçgen eşitsizliğini tatmin etmiyor.

Answer 1

Eşitsizlik eşdeğerdir $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ için $a, b \geq 0$. Putting$a=b=1$ bunu görüyoruz $2^{d} \leq 2$. Bu nedenle$d \leq 1$gerekli bir koşuldur. Herhangi$d \in (0,1]$eşitsizlik geçerlidir. Bu gözlemlenerek kanıtlanabilir.$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ azalan işlevi $a$ ve ne zaman kaybolur $a=0$.

Ne zaman $d<0$, $|x-y|^{d}$ ne zaman bile tanımlanmadı $x=y$ bu yüzden bir metrik vermez. $d=0$ size bırakılmıştır.