Arasında kovaryans $X_i-\overline{X}$ ve $\overline{X}$ [çiftleme]

Question

İzin Vermek $n>2$ ve $\sigma^2>0$.

İle bir matematik sınavı yapıldı $n$katılımcılar. Puan, ortalama ile normal dağılımı takip eder$\mu_X$ varyans $\sigma^2$.

Matematik sınavının puanları $X_1,...,X_n$.

$$\overline{ X }=\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$$

Her biri için $i = 1,...,n$, arasındaki kovaryansın değeri nedir $X_i-\overline{X}$ ve $\overline{X}$?

---

(Ne denedim)

$\operatorname{Cov}[X_i-X,\overline{X}]$

$ = E[(X_i-X)\overline{X}]-E[X_i-X]E[\overline{X}]$

$=E[X_i\overline{X}] - E[\overline{X}^2] - (E[X_i]-E[\overline{X}])E[\overline{X}]$

$=E[X_i\overline{X}] - E[\overline{X}^2] - (E[X_i]-\mu)\mu$

ve geri kalan dönemle nasıl başa çıkacağımı bilmiyorum $E[]$.

Biri bana yardım edebilir mi?

Answer 1

Bir ortalama sahip hakkında artıklar $0$ortalama ile kovaryans. Genelliği kaybetmeden bul$Cov(X_1-\bar X, \bar X):$ Sonra $$Cov(X_1 - \bar X, \bar X) = Cov(X_1, \bar X) - Cov(\bar X,\bar X)\\ = Cov(X_1, \bar X) + Var(\bar X) = Cov(X_1,\bar X) -\sigma^2/n.$$

Şimdi $$Cov(X_1,\bar X) = Cov\left(X_1, \frac 1n\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ =Cov\left(X_1,\frac 1n X_1\right) + 0 = \frac 1n Cov(X_1,X_1)\\ = \frac 1n Var(X_1) = \sigma^2/n.$$

Böylece, $Cov(X_1,\bar X) = \sigma^2/n - \sigma^2/n = 0.$

İstatistiksel çıkarıma uygunluk. Bu sonuç, istatistiksel çıkarımda önemlidir. kalıntılar $r_i = X_i - \bar X$ Grup ortalamalarından elde edilen gözlemler ANOVA ve regresyonda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Normal veriler için bağımsız örnek ortalama ve varyans. Normal veriler için korelasyonsuz bağımsızdır. Çünkü$\bar X$ bağımsızdır $r_i,$ o zaman bağımsızdır $S.$ Yani normal veriler için $\bar X$ ve $S_X^2$stokastik olarak bağımsızdır. (İşlevsel olarak bağımsız değillerdir çünkü$\bar X$ bulmak için kullanılır $S_X^2.)$ Bu, t istatistikleri için önemlidir, çünkü Student t dağılımı, pay ve paydadan bağımsız bir oran olarak tanımlanır.

Korelasyon eksikliğini gösteren simülasyonlar. R'deki kısa bir simülasyon, araçların bunlardan kalan kalıntılarla ilişkili olmadığını gösterir. (Simülasyon 10 milyon normal boyutta örnek kullanır$n=10,$ korelasyon için birkaç ondalık doğruluk basamağı verir.)

set.seed(2020)
M = 10^7; n = 10
X = rnorm(M*n, 100, 15)
DTA = matrix(X, nrow=M)
A = rowMeans(DTA)
X1 = DTA[,1]
cor(X1-A,A)
[1] -0.0004722208  # aprx 0

Üstel verilerle benzer bir simülasyon da korelasyon eksikliğini gösterir:

set.seed(2020)
M = 10^7; n = 10
Y = rexp(M*n)
DTA = matrix(Y, nrow=M)
A = rowMeans(DTA)
Y1 = DTA[,1]
cor(Y1-A,A)
[1] 4.620507e-08

Bununla birlikte, araca karşı kalıntıların saçılma grafikleri , normal veriler için bağımsızlığı , ancak üstel veriler için açık bir bağımlılık modelini gösterir. (Dağılım grafiklerinde yönetilebilir sayıda nokta için azaltılmış sayıda veri kümesi kullanıyoruz.)

m=30000
x1=X1[1:m]; a.x=A[1:m]; r.x=x1-a.x
y1=Y1[1:m]; a.y=A[1:m]; r.y=y1-a.y
par(mfrow=c(1,2))
 plot(a.x,r.x, pch=".", main="Normal Data")
 plot(a.y,r.y, pch=".", main="Exponential Data")
par(mfrow=c(1,1))