Aşağıdaki işlevin Riemann Integrable olduğunu kanıtlayın

Question

İzin Vermek $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ile tanımlanabilir \ başlar {denklem *} f (x) = \ başlar {olgu} x \ metni {ise} x = \ frac {1} \ mathbb {N} içinde \ N {için} {n} \ Metin , \\ 0 & \ text {aksi halde} \ end {case} \ end {equation *} Kanıtla$f$ Riemann Entegre Edilebilir.

Bunun, bu işlevin kanıtlanabileceğini biliyorum. $f$ yalnızca sayısız noktada süreksizdir $\frac{1}{n}$, bu yüzden Riemann Integrable'dır.

Bulmayı içeren prosedürü görmek istiyorum $L(P,f)$ ve $U(P,f)$ nerede $P$ herhangi bir bölüm devralınır mı $[0,1]$. Bu prosedürü kullanarak Riemann Integrable olduğunu kanıtlayamıyorum. Lütfen birisi bana yardım edebilir mi? Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Bunu göstermek kolay $L(P,f) = 0$ herhangi bir bölüm için.

Al $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (nerede $n$ büyük) ve alt aralıkları içeren bir bölüm

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ ve bunu göster $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

Herhangi $\epsilon > 0$ seçebiliriz $n$ öyle ki $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ ve Riemann kriteri karşılanır.