Aşağıdaki matris ürününün simetrik pozitif tanımlı olması için gerekli (ve yeterli) koşullar?

Question

Biraz düzelt $n\times n$ simetrik pozitif tanımlı matris $A$. Aşağıdaki matris ürününü düşünün,

$$B = AC$$

nerede $C$ keyfi $n\times n$matris. Verilen$A$, Tüm kare matrisler üzerinde bilinen gerekli ve yeterli koşullar olup olmadığını bilmek istiyorum $C$ öyle ki ortaya çıkan matris $B$simetrik pozitif tanımlı mı? Gerekli koşulları (mümkünse) bilmekle daha çok ilgileniyorum.

Düzenle:

Ben sadece gerçek matrislerle ilgileniyorum.

Answer 1

Eğer $C$ ile değişen pozitif tanımlı gerçek bir matristir $A$ sonra $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$bu pozitif tanımlı. Yani bu kesinlikle yeterli bir koşul.

Ancak, gerekli olmaktan uzaktır. Bunu bir düşün$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

Bunu tamamen açıklayan güzel bir koşul olacağına ikna olmadım. $C$.

Gerekli bir koşul şudur: $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Ek olarak $C$ simetriktir ve sonra gidip gelir $A$ ve daha sonra $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ ki bunun anlamı $C$ çünkü pozitif tanımlıdır $A^{-1}$ aynı zamanda olumlu.

Tam bir cevap yok, ama şimdilik elimde olan tek şey bu.