Aşağıdaki sınır nasıl elde edilir: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Question

Aşağıdaki sınır nasıl elde edilir:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

İzin verirsem $x=r\cos \theta$ ve $y=r\sin \theta$ nerede $\theta\in (0, \pi/2)$, sonra $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

Görünüşe göre sınır yok.

Answer 1

Bu durumlarda, genellikle iyi bir strateji, üsleri paydada eşit yapmak için bir değişken değişikliği kullanmaktır. $x^4=u$ ve $y=v$ sonra

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

ve örneğin kutupsal koordinatlarla veya iki farklı yolu şöyle varsayarak kolayca sonuca varabiliriz $u=\pm v$.

Answer 2

Eğri boyunca $y=x^{4}$ sınır $\frac 1 2 $ ve boyunca $y=0$ bu $0$. Dolayısıyla sınır yoktur.