Ayrılabilir bir Hilbert uzayında sınırlı bir operatörün özdeğerler kümesi sayılabilir mi?

Question

Bir operatörün spektrumu genellikle sayılamaz, ancak lütfen sorunun özdeğerlere atıfta bulunduğunu unutmayın .

Bu, kendine eş operatörler için iyi bilinir, ancak sonucun bu durumun ötesine nasıl geçtiğini anlamıyorum.

Aynı soru, ayrılabilir Banach uzayları için de mantıklıdır.

Answer 1

Burada da mathoverflow'da aynı soru sorulmakta ve cevaplanmaktadır . Geriye doğru kaydırma operatörü$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ tarafından tanımlandı $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$işi yapar. Her biri için$\lambda \in \mathbb{C}$ ile $|\lambda|<1$geometrik dizi $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ kare ile bütünleştirilebilir ve tatmin edici $T v = \lambda v$.