Bağımlı rastgele değişkenlerin toplamının varyansına ilişkin sınırlar

Question

İzin Vermek $x_1, \ldots, x_n$olması mümkün bağımlı rastgele değişkenler, her bir alma değerleri$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Ayrıca, her sonuçta 2'ye eşit olan rastgele değişkenlerin sayısının tam olarak 1 olduğunu varsayalım. Şimdi her biri için$i \in \{1, \ldots, n\}$ tanımlamak $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ ve izin ver $ f = \sum_i f_i. $

Sorum şu ki, varyansı ne kadar büyük olabilir? $f$be? Benim varsayım, onu sınırlayabilmemiz gerektiğidir.$O(1)$ ama bunu nasıl kanıtlayacağımı bilmiyorum.

---

Not: Yardımcı olması durumunda, bunu kanıtlamak kolaydır $E[f] = 1$: $$ E[f] = \sum_i E[f_i] = \sum_i \Pr[x_i \geq 1] \times \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] = \sum_i \Pr[x_i = 2] = 1, $$ son eşitliğin, tüm sonuçlarda tam olarak aşağıdakilerden biri olduğu şeklindeki ilk $x_i$s eşittir 2.

Answer 1

$Var\,f$ siparişinde olabilir $n$ (ama bundan daha fazlası değil).

Doğrusu bırak $U$ ve $N$ bağımsız rastgele değişkenler olacak şekilde $P(U=1)=:p=1-P(U=0)=:q$ ve $P(N=i)=1/n$ hepsi için $i\in[n]:=\{1,\dots,n\}$. İzin Vermek$$x_i:=1(U=1,N\ne i)+2\times1(N=i). $$ Sonra $p=1/n$ $$Var\,f\sim n/4\tag{1}$$ (gibi $n\to\infty$).

Diğer yandan, $$Var\,f\le Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j\le\sum_{i,j\in[n]}Ef_i =n\sum_{i\in[n]}Ef_i=n.$$

---

Ayrıntılar (1): Elimizde $$Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j \\ =\sum_{i,j\in[n]}P(x_i=2|x_i\ge1)P(x_j=2|x_j\ge1) P(x_i\ge1,x_j\ge1),\tag{2}$$ $$P(x_i\ge1)=1-P(x_i=0)=1-P(U=0)P(N\ne i)=1-q(1-1/n)=p+q/n,$$ $$P(x_i=2)=P(N=i)=1/n,$$ $$P(x_i=2|x_i\ge1)=\frac{P(x_i=2)}{P(x_i\ge1)}=\frac{1/n}{p+q/n},$$ ve $$P(x_i\ge1,x_j\ge1)=1-P(x_i=0\text{ or }x_j=0)=1-P(x_i=0)-P(x_j=0)+P(x_i=0,x_j=0) =1-2q(1-1/n)+q(1-2/n)=1-q=p$$ için $i\ne j$. Şimdi seçmek$p=1/n$, sahibiz
$$Ef^2\sim n/4.$$ Dan beri $Ef=1$, (1) şimdi takip ediyor.

---

(2) 'ye dönüp baktığımızda, şimdi inşaatın arkasındaki fikir şeffaf olmalı: $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$ için $i\ne j$ çok daha büyük $P(x_i\ge1)P(x_j\ge1)$ ve aynı zamanda yapmamak $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$çok küçük. Seçim$p=1/n$ bu bakımdan neredeyse optimaldir.