Bağlılığın tanımı ve sezgisi

Question

topolojik uzay diyoruz$X$boş olmayan iki açık altkümenin ayrık birleşimi olarak yazılamıyorsa bağlanacak. Sezgisel olarak bağlantılılık, topolojik uzayımızın tek bir parça olduğu anlamına gelir. Yukarıdaki tanımın sezgiyi nasıl yakaladığını göremiyorum. Lütfen yardım et.

Answer 1

tabii herhangi bir boşluk varsa$X$iki veya daha fazla noktaya sahip olarak yazılabilir$A \cup B$, ile birlikte$A,B$birçok yönden ayrık ve boş değil . Ancak bağlantının kesilmesi, bunu yapmanın hiçbir anlamı olmayacak şekilde yapmanın bir yolu olduğu anlamına gelir.$A$yakın"$B$ve hiçbir nokta$B$yakın"$A$. Yakın olmak, topolojide kapalı olmak suretiyle resmileştirilir. Yani bir boşluk ara$X$olarak yazabildiğimiz zaman bağlantısı kesildi$A \cup B$, her ikisi de boş olmayan kümeler ve öyle ki$\overline{A} \cap B = \emptyset$(nokta yok$B$yakın$A$) ve$A \cap \overline{B} = \emptyset$(nokta yok$A$yakın$B$). Ama bu şunu ima ediyor$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$yani özellikle$A=\overline{A}$ve$A$kapalı. simetrik olarak,$B$da kapalı ve$A$ve$B$birbirlerinin tamamlayıcılarıdır,$A$ve$B$onlar da açık (aşağıdaki gibi de görebilirsiniz, örneğin eğer$x \in A$bir iç nokta değildi$A$, her mahalle$x$olmayan içerir$A$puan yani puan$B$, olarak$A\cup B=X$. Ve eğer her mahalle$x$kesişir$B$,$x \in \overline{B}$, ama hiçbir anlam ifade etmedik$x$nın-nin$A$yakındı$B$...)

Yani sorunun tanımındayız, bu anlamda bağlantısız olmayan bir uzaya "bağlı" diyoruz. Aslında bağlantısızlık tanımında aynı anda açık parçalar, aynı anda kapalı parçalar veya "ayrılmış" parçalar (ilk tanım olarak) için sormak eşdeğerdir.

Answer 2

Bazı bağlı seti iki parçaya keserseniz, kesim yerinde iki parçadan biri "açık", diğeri "kapalı" olacaktır. Örneğin, gerçek çizgiyi noktada iki parçaya bölerseniz$a\in\mathbb R$, ya iki parça alacaksın$(-\infty,a],(a,\infty)$, veya$(-\infty,a),[a,\infty)$. Bunlardan en az birinin kapalı bir sınırı vardır.$a$. Kesime ait noktaların iki parçadan birine dahil edilmesi gerekir ve o parçanın kesme noktası bir sınır noktası olacaktır. Benzer şekilde, daha karmaşık alanlar için: kestiğimiz çizgi, iki parça arasında dağıtılmalı, onlara bir sınır vererek, açılmamalarını sağlamalıdır.

Tabii ki, bir çizgi/düzlem/ne olursa olsun, kesmemize gerek yok, ancak sezginin en net olduğu durum budur.