Basit bir modül için türetilmiş functoru hesaplama

Question

Düşünmek $M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ olarak $R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$modül. Ne olduğunu hesaplamaya çalışıyorum$Ext_{R}^n(M,M)$ hepsi için $M$. Bunun için izin verdim

$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$

özgür (ve dolayısıyla yansıtmalı) bir çözüm olun. Hesaplamak$Ext_{R}^n(M,M)$, Şimdi sadece homoloji gruplarını alıyorum $$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$ Dan beri $\text{Hom}(R,M) \cong M$yukarıdakiler sadece zincir $$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$ böylece çekirdeklerin tümü $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ve görüntüler sadece $0$ Böylece $Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ hepsi için $n$. Bu doğru mu, küçük bir hata mı yaptım veya önemli bir şeyi temelden yanlış mı anladım? (Ya da her ikisi de!)

Answer 1

Küçük bir hata yaptınız: tam olarak doğru bir fonksiyona sahipseniz unutmayın $F$ve hesaplamak istiyorsun $L_*F(X)$, projektif bir çözüm alırsın $P_*\to X$ ve sonra homolojisini alın $F(P_*)$, Değil homoloji$F(P_*\to X)$.

Yani küçük hatanız, homoloji gruplarını aradığınızı söylemektir. $\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$

(bu arada, ilk haritanın kimlikle tanımlanacağını unutmayın. $\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$ile değil $\times 3$projeksiyonun ikili olduğu için $\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)

Homolojisini aradığınız zincir kompleksinde yalnızca $\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$içinde. Ancak size söylediğiniz sonucu verir.