Bazı RH benzeri varsayımlar altında PNT'de hata sınırı
Ders notlarında mücadele ettiğim bir alıştırma vardı. Buraya,$\psi$Chebychev işlevini gösterir . Bunu varsaymıştım$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ bazı $0<\varepsilon<1/2$ (Riemann Hipotezinin daha az güçlü bir versiyonundan, yani formun sıfırdan bağımsız bir bölgesinden gelirdi. $\{\sigma>c\}$). Parçalara göre toplamı kullanarak yazdım$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ bunu kanıtlamama izin veren $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$
Şimdi, egzersizin geri kalanında bunu kanıtlamam isteniyor $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ herhangi $\delta>0$ (bu anlamda $\text{Li}(x)$ daha iyi bir yaklaşımdır $\pi(x)$ basitçe $\frac{x}{\log(x)}$). Bunu nasıl kanıtlayabilirim?
Tersini varsayarsam, yani, $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ bazı $\delta>0$, o zaman hangi çelişkiye kapılmam gerektiğine dair hiçbir fikrim yok.
Klasik eşitsizlikleri denedim: $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$ama beni bir yere götürdüğünden şüpheliyim. Herhangi bir ipucu / fikri olan var mı? Egzersiz biraz önemsiz şeylerden başka bir şey vermiyor .
Yanıtlar
Kanıtladığınız şeye dayanarak, bizde $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ Şimdi, parçalara göre entegrasyon kullanılarak gösterilebilir. $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ Bu nedenle, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$