Bir çift (9 ve 15 boyutlu) dışbükey kümeler için John elipsoidleri nelerdir? $4 \times 4$ pozitif tanımlı matrisler?
9 ve 15 boyutlu dışbükey kümeler için John elipsoidleri ( JohnEllipsoid ) nedir ($A,B$) nın-nin $4 \times 4$pozitif-tanımlı, iz-1 simetrik (Hermitian) matrisler (kuantum-bilgi sözlüğünde, sırasıyla “iki-rebit” ve “iki-kübit” “yoğunluk matrisleri” [ YoğunlukMatrisleri ] kümeleri )? (Bu cisimler, temelde yatan teoremin John Teoreminin bir yönü anlamında "merkezi olarak simetrik" mi?)
Ayrıca, bu elipsoidlerin önemli dışbükey alt kümeleriyle ilişkisi (kesişimler,…) nedir? $A$ ve $B$ (tamamen pozitif olmayan) kısmi transpozisyon işlemi altında pozitif-tanımlı kalan matrislerden oluşur. $2 \times 2$ blokları $4 \times 4$matrisler yer değiştiriyor mu? (Bu "PPT" [pozitif-kısmi-devrik / ayrılabilir / dolanmamış] dışbükey alt kümeler tarafından işgal edilen Öklid hacminin fraksiyonlarının [ MasterLovasAndai ]$\frac{29}{64}$ için $A$ ve $\frac{8}{33}$ için $B$.)
Ayrıca, bu elipsoidlerin "insferler" (içine yazılan maksimal toplar) ile olan diğer ilişkisi nedir? $A$ ve $B$[ SBZ ])? İnsferler ayrıca PPT setlerinin içinde yer alır. John elipsoidleri ve insferleri basitçe çakışabilir mi?
Ek olarak, bu PPT kümeleri için John elipsoidlerinin kendileri ne olabilir?
Aşağıdaki alıntı p'de değinilen ilginç bir "direksiyon elipsoidi" kavramı vardır . 28 [SteeringEllipsoid] :
İki kübitlik durumlar için, normalleştirilmiş koşullu durumlar Alice, Bob'un sistemini, yönlendirme elipsoidi olarak adlandırılan Bob's Bloch küresi içinde bir elipsoid oluşturacak şekilde yönlendirebilir (Verstraete, 2002; Shi ve diğerleri, 2011, 2012; Jevtic ve diğerleri, 2014 ).
Bununla birlikte, "Bloch küresi" 3 boyutludur, bu nedenle iki kübit durumunun yönlendirme elipsoidi, yukarıda istenen (15 boyutlu) John elipsoidi olamaz.
Elbette, John elipsoidlerinin ne olduğu sorusu, dışbükey kümeler için sorulabilir. $m \times m$ simetrik ve $n \times n$ Hermit (pozitif-tanımlı, iz 1) yoğunluk matrisleri ($m,n \geq 2$). İçin$m,n=2$cevaplar önemsiz görünmektedir, yani dışbükey kümelerin kendileri. İçin$m,n =3$, muhtemelen önemsiz görünüyor. Ancak, yalnızca bileşik değerleri için$m,n$, PPT durumlarının dışbükey alt kümeleriyle ilgili yardımcı sorularımız var mı?
Yukarıdaki ilk hiperlinkte verilen Wikipedia makalesi,
"iç Löwner-John elipsoidi olarak yazılmış maksimum hacim elipsoidi" tanımlamaktadır .
[ DensityMatrices ]: Slater - Genelleştirilmiş iki kübitli Hilbert-Schmidt ayrılabilirlik olasılıkları için kısa bir formül
[ JohnTheorem ]: Howard - John elipsoid teoremi
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai ve eşdeğeri formüller$\frac8{33}$ iki kübit Hilbert – Schmidt ayrılabilirlik olasılığı ve eşlik eden rasyonel değerli varsayımlar
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson ve Życzkowski - Pozitif kısmi devrikli durumlar gövdesinin yapısı hakkında
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen ve Gühne - Quantum direksiyon
Yanıtlar
Görünüşte alakalı iki formülle başlayalım. Birincisi, bir$k$boyutlu elipsoid [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ] \ başlar {denklem} vol_k = \ frac {k \ Gama \ sol (\ frac {k} {2 {2 \ pi ^ {k / 2} \ eşya _ {ı 1} ^ k A_i =} } \ sağ)}, \ end {denklem} burada$a_i$yarı eksenlerin uzunluklarıdır.
Diğeri ise setin hacmi içindir. $m \times m$iz 1'in simetrik, pozitif-tanımlı matrisleri [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {denklem} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gama \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gama \ left (\ frac {l } {2} +1 \ sağ)} {m! \ Gama \ sol (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ sağ)}. \ end {equation}
("İki rebit") durumu için $m=4$ ($k=9$), formül, \ begin {equation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ yaklaşık 0.0016106 sonucunu verir. \ end {equation}
Öyleyse, bizi özellikle ilgilendiren soru, bu hacmin ne kadarının, belirtilen 9 boyutlu kümenin dışbükey kümesi için iç Lowner-John elipsoidi tarafından işgal edildiğidir. $4 \times 4$(yoğunluk) matrisleri. Dahası, ile karşılaştırıldığında büyüklüğü nedir$\frac{29}{64}$Lovas ve Andai tarafından iki rebit durumunun ayrılabilirliği için oluşturulan fraksiyon - eşdeğer olarak, PPT -? Ayrıca, üstkürenin hacmine kıyasla (bunun için şu anda bir hesaplama yapmıyoruz).
Bu nedenle, bu sorulara yaklaşmak için , Ginibre-ensemble yöntemlerini kullanarak rastgele oluşturulmuş “iki rebit yoğunluklu matrisler” (sn, 4, RandomDensityMatrices ) çiftleri oluşturduk. Daha sonra, farklılıklarının mutlak değerlerini aldık ve 2'ye böldük. Ortaya çıkan matrisin dokuz bağımsız girişi (üç köşegen ve altı köşegen olmayan) yarı eksen olarak alındı.
Bu noktada, on altı milyona yakın bu tür çift oluşturduk. Çifti$4 \times 4$ ilişkili maksimum elipsoid hacmini bulduğumuz yoğunluk matrisleri, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (yalnızca 0.0000432642 $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), şu ana kadar \ begin {denklem} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0.157489 \\ -0.177458 & 0.0925659 & 0.157489 & 0.11669 \\ \ end {dizi} \ sağ) \ end {denklem} ve \ begin {denklem} \ left (\ begin {dizi} {cccc} 0.135144 ve 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {equation} Baştaki üç köşegen girişin ve üst altı köşegen dışı girişin bu iki matrisi için mutlak farkların yarısı, yukarıda verilen ilk formülde dokuz yarı eksen olarak kullanılır.
Ayrıca, hacimleri hesaplamak için bir alternatif - ancak belirli normalleştirme faktörlerine eşdeğer - bir yaklaşım olduğunu da belirtelim. $m \times m$yoğunluk matrisleri ( AndaiVolume ). Andai, ancak, dikkatini$2 \times 2$ Hermit davası ve yukarıda sunulan Zyczkowski ve Sommers'ın cilt formülüne açık bir alternatif vermedi - bu nedenle, zamanın bu noktasında, ne şekilde olacağından emin değiliz.