Bir dizinin $a_n$ öyle ki $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$, ve $a_1 \neq 0$ yükseliyor?

Question

Sonsuz bir dizimiz var $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ Ve ona verilir $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (sonraki terimler arasındaki fark artmaktadır ve ilk terim sıfır olamaz)

Sonraki dönemlerin mutlak değerlerinin arttığı sonucuna varabilir miyiz? Bu sonuca varabilir miyiz$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Soruda verilen eşitsizliklerle uğraşmak, bize alternatif terimlerin arttığı bilgisini verebilir (mutlak / sayısal değerde, $a_1$ bir yana, yani karşılaştırmak değil $a_1$herhangi bir terimle ama sadece sıfır olmamasına dikkat ederek) ama ardışık terimlerle değil. Dolayısıyla, ardışık terimlerin sayısal olarak arttığı sonucuna varamayacağımızı düşünüyorum.

Açıklayıcı bir cevap aranır.

Answer 1

Sırayı düşünün $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$ nerede $c_n\in\{+1,-1\}$ve sıra $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.

Sonra $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ artıyor, ancak rastgele seçim nedeniyle $c_i$ olup olmadığını söylemek mümkün değil $a_n$artıyor veya azalıyor. İşte rastgele seçimle oluşturulan bir örnek$c_n$.

Answer 2

Bir karşı örnek yeterlidir ve sadece üç terimle bir tane üretebilirsiniz. Biraz daha ileri gitmek ve terimlerin mutlak değerde arttığı bir noktaya bile ihtiyaç olmadığını göstermek istiyorsanız, biraz daha sıkı çalışmanız gerekir, ama çok değil. Örneğin, izin ver$a_1=1$ve genel olarak

$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$

böylece diziyi elde edersiniz $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; bu durumda tümevarımla göstermek zor değil$a_{2n-1}=n$ ve $a_{2n}=1-n$ hepsi için $n\in\Bbb Z^+$. Belli ki$|a_{n+1}-a_n|=n$ için $n\in\Bbb Z^+$, fakat $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ için $n\in\Bbb Z^+$.