Bir dizinin yakınsaması verilen bir serinin yakınsamasını gösterme

Question

Aşağıdakileri göstermemi isteyen bir problem üzerinde çalışıyorum: Bir dizi gerçek sayı verildiğinde, $(x_n), n=0,1,2,...$ öyle ki $x_n \rightarrow x$, olduğunu göstermektedir $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ Benim yaklaşımım, bunu geometrik seri formülünü nasıl kanıtladığımıza benzer bir şekilde denemek ve kanıtlamaktır (ki bu basit olurdu. $(x_n)$sabit bir diziydi). Yukarıdaki serinin kısmi toplamlarına baktığımızda şunu görüyoruz:$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ Buradan tam olarak izin veremem $p\rightarrow 1^{-}$henüz, aksi takdirde her şey iptal olur. Bu yüzden şunu kullanmak istiyorum$x_n$ yakınsamak $x$ve o zamandan beri kullanmam gerekeceğinden şüpheleniyorum $x_n \rightarrow x$, $(x_m - x_{m-1})$ şartlar gidiyor $0$ büyük için $m$. Ancak, toplamda ilk terimlerle nasıl başa çıkacağımı hala bilmiyorum.$(x_m - x_{m-1})$ şartlar önemsiz değildir.

Answer 1

$\epsilon>0$:

var olduğunu göstermek istiyoruz $\delta$ bunun için eğer $p\in\left(1-\delta,1\right)$ sonra $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. x_n'in x'e yakınsadığını biliyoruz, dolayısıyla bir N var öyle ki tüm n> N'ler için:$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. ayrıca şunu da biliyoruz:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. ikinci kısma bakalım:$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$

Böylece sahibiz: $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$

ancak 1'e yeterince yakın olan p için, birinci kısım sıfıra gider ve ikinci kısım x eksi epsilona gider. Böylece doğru delta için ihtiyacınız olan alt sınırı gösterebilirsiniz. Üst sınır çok benzer bir şekilde gösterilebilir.

Umarım bu anlaşılabilir