Bir grup düzen olduğunu göster $pq$ alt sipariş grubuna sahip $p$ ve $q$ sylow ve cauchy teoremini kullanmadan
Eğer $o(G)$ dır-dir $pq$, $p>q$ asal, kanıtla $G$ sipariş alt grubuna sahip $p$ ve bir sipariş alt grubu $q$.
[Bu soru Herstein'dan ve Sylow ve Cauchy'nin teoreminden önce geliyor. Bu yüzden bunlardan herhangi birini kullanmadan bir cevap bekliyorum]
Şimdiye kadar elde ettiğim şey şu:
Eğer $G$ döngüseldir, o zaman aksi takdirde işimiz biter, döngüsel olmadığını varsayabiliriz; $p$ veya $q$.
Durum $(1)$ varsa $a\in G$ öyle ki $o(a) = p$ ve ayrıca bir düzen unsuru varsa $q$sonra bitirdik. Böylece, kimlik olmayan her öğenin düzenli olduğunu varsayabiliriz$p$. Şimdi seç$b\in G$ öyle ki $b\notin \langle a \rangle$ sonra $o(b) = p$ ve $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$
Böylece sahibiz $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ fakat $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ fakat $p^2 > pq$ [dan beri $p>q$] bu yüzden bir çelişki var.
Bana ikinci dava için bir ipucu verin ve ilk dava için argümanım yanlışsa beni düzeltin
Yanıtlar
Her özdeş olmayan öğenin döngüsel bir düzen grubu oluşturduğunu varsayalım $q$, asal sayıların küçüğü.
Eşlenik, bir grup üzerindeki eşdeğerlik ilişkisidir. Bu yüzden grubu denklik sınıflarına ayırabilmeliyiz. Bir elemanın ait olduğu denklik sınıfının boyutu, elemanın merkezileştiricisinin dizinidir. Neden? Düzelt$x\in G$. Bir homomorfizm yapın$G \rightarrow G$ göndererek $g \rightarrow xgx^{-1}$. Eşdeğerlik sınıfının boyutu, görüntünün sırasını belirtir. Bu haritanın çekirdeği nedir?
Merkezleyici düzen ise $p$ veya $pq$, İşimiz bitti. Her merkezleyicinin düzenli olduğunu varsayın$q$merkezileştiricinin indeksi $pq/q=p$. Her eleman bir eşdeğerlik sınıfına ait olacaktır$p$kimlik öğesi hariç.
Basit bir kardinalite hesaplaması şunu gösterir: $pq= kp+1$, burada eşdeğerlik sınıflarının sayısını temsil eder. Ancak, bu saçmadır ve bu nedenle, her düzen alt grubu değildir.$q$.